Математика

Теоретические основы для выполнения умножения многочлена на одночлен - формулировка

 

Операция умножения многочлена на одночлен является основой для рассмотрения операции умножения многочлена на многочлен и нужно сначала научиться умножать многочлен на одночлен, чтобы разобраться в умножении многочленов.

 

Основой данной операции является распределительный закон умножения. Напомним его:

;

По существу, мы видим правило умножения многочлена, в данном случае двучлена, на одночлен и это правило можно сформулировать так: чтобы умножить многочлен на одночлен, нужно каждый член многочлена умножить на этот одночлен. Сложить алгебраически полученные произведения, после чего произвести над многочленом необходимые действия – а именно привести его к стандартному виду.

 

Правило умножения многочлена на одночлен, решение примеров

 

 

Рассмотрим пример:

 

Комментарий: данный пример решается, точно следуя правилу: каждый член многочлена умножается на одночлен. Для того, чтобы хорошо понять и усвоить распределительный закон, в данном примере члены многочлена были заменены на х и у соответственно, а одночлен на с, после этого выполнено элементарное действие в соответствии с распределительным законом и выполнена подстановка исходных значений. Следует быть внимательными со знаками и правильно выполнить умножение на минус единицу.

Рассмотрим пример умножения трехчлена на одночлен и убедимся, что оно ничем не отличается от такой же операции с двучленом:

Перейдем к решению примеров:

Пример 1:

Комментарий: данный пример решается согласно распределительному закону и аналогично предыдущему примеру - каждый член многочлена умножается на одночлен, полученный многочлен уже записан в стандартном виде, поэтому упростить его нельзя.

Пример 2 – выполнить действия и получить многочлен в стандартном виде:

;

Комментарий: для решения данного примера сначала произведем умножение для первого и второго двучленов согласно распределительному закону, после этого приведем полученный многочлен к стандартному виду - приведем подобные члены.

Теперь сформулируем основные задачи, связанные с операцией умножения многочлена на одночлен, и приведем примеры их решения.

 

Решение первой типовой задачи – на упрощение выражений

 

 

Задача1 – упростить выражение:

 

;

Комментарий: данный пример решается аналогично предыдущему, а именно вначале производится умножение многочленов на соответствующие одночлены, после этого приведение подобных.

 

Решение второй типовой задачи – вычислительной

 

 

Задача 2 – упростить и вычислить:

 

Пример 1:;

;

;

Комментарий: данный пример решается аналогично предыдущему, с тем лишь дополнением, что после приведения подобных членов нужно вместо переменной подставить ее конкретное значение и вычислить значение многочлена. Напомним, чтобы легко умножить десятичную дробь на десять, нужно переместить запятую на один разряд вправо.

Пример 2:

Найти значение многочлена при

;

 

Решение третьей типовой задачи – уравнение

 

 

Задача 3 – решить уравнение:

 

Пример 1: ;

;

;

.

Комментарий: для решения данного уравнения упростим левую его часть: произведем умножение многочленов на соответствующие им одночлены, а свободный член перенесем в правую часть. После приведения подобных остается решить элементарное уравнение.

Пример 2:

;

;

;

Комментарий: данный пример решается аналогично предыдущему.

 

Формулировка типичных ошибок

 

 

Хотелось бы обратить внимание на типовые ошибки во избежание таковых в дальнейшем:

 

 – неверно! так как ;

 – неверно! так как ;

Вывод: в данном уроке была изучена операция умножения многочлена на одночлен и рассмотрены различные примеры. Кроме того, были сформулированы и решены основные типовые задачи, касающиеся данной операции.

 

Список рекомендованной литературы

1. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 7. 6 издание. М.: Просвещение. 2010 г.

2. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра 7. М.: ВЕНТАНА-ГРАФ 

3. Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др. Алгебра 7 .М.: Просвещение. 2006 г.

 

Рекомендованные ссылки на ресурсы интернет

1. Школьный помощник (Источник).

2. Старая школа (Источник).

3. Интернет-портал FizMat.by (Источник).

 

Рекомендованное домашнее задание

Задание 1: Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 7, №695 , ст.184;

Задание 2: Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра 7, №359, ст.76;

Задание 3: Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра 7, №362, ст.76;