Математика

Формирование теоретической базы

 

Для того чтобы вплотную перейти к теме умножения многочленов, научимся умножать простейшие многочлены – двучлены. Напомним, что основное правило умножения многочленов базируется на распределительном законе умножения:

 

 – для двучлена;

 – для трехчлена;

Напомним правило умножения многочлена на одночлен: нужно умножить каждый член многочлена на этот одночлен, записать алгебраическую сумму произведений, привести полученный многочлен к стандартному виду.

Рассмотрим пример умножения простейших двучленов:

;

Обозначим  как , тогда получим:

;

Вернемся к исходным переменным. Получим:

;

Комментарий: все действия базируются на распределительном законе умножения.

 

Формулировка правила умножения двучленов

 

 

Сформулируем правило умножения двучленов: каждый элемент первого двучлена умножается на каждый элемент второго двучлена, записывается алгебраическая сумма полученных произведений, производится приведение нового многочлена к стандартному виду.

 

Наша цель доказать, что это правило справедливо как для двучленов, так и для трехчленов и для любых многочленов.

 

Решение примеров

 

 

Рассмотрим примеры.

 

Пример 1: ;

Комментарий: пример выполняется согласно сформулированному выше правилу.

Пример 2: ;

Комментарий: пример выполняется аналогично предыдущему.

Пример 3: ;

Комментарий: в данном примере следует обратить внимание на знаки и внимательно раскрывать скобки.

 

Решение первой типовой задачи – на упрощение выражений

 

 

Перейдем к типовым задачам.

 

Задача 1 – упростить выражение:

;

Комментарий: при выполнении данного примера следует вспомнить теорему о произведении степеней и правильно согласно этого выполнить действия.

 

Решение второй типовой задачи – вычислительной

 

 

Задача 2 – упростить и вычислить:

 

; ;

;

Комментарий: пример решается аналогично предыдущему с тем лишь дополнением, что после приведения подобных нужно подставить вместо переменных их значения и получить численное значение многочлена. Для удобства вычисления следует вспомнить, что при умножении любого числа на ноль получается ноль, а при возведении единицы в любую натуральную степень получается единица

 

Выведение некоторых важных тождеств

 

 

Рассмотрим простой пример умножения двучленов, который в последствии будет использоваться при решении других задач:

 

;

Нами получено важное тождество, к которому мы вернемся немного позже:

;

Данное выражение является тождеством, так как оно справедливо при любых значениях переменных, которые в него входят. Словесно это тождество может быть представлено так: произведение суммы двух чисел на их разность равно разности квадратов этих чисел.

Перейдем к следующему примеру:

;

Запишем полученное тождество несколько в другом виде:

;

Данное тождество также является очень важным, и к нему мы еще вернемся.

Сразу обратим внимание на типичную ошибку: . Данное выражение ни в коем случае не является верным тождеством, так как

Рассмотрим пример: , так как , а , .

Получим еще одно важное тождество:

;

Выпишем полученное тождество, чтобы потом к нему вернуться:

;

Выписанные тождества называют формулами сокращенного умножения, и мы ими не раз будем пользоваться.

 

Решение третьей типовой задачи – уравнений

 

 

Вернемся к типовым задачам.

 

Задача 3 – решить уравнение:

Пример 1:

;

;

;

;

;

;

;

Комментарий: для решения данного уравнения нужно упростить выражение в левой его части, для этого выполнить умножение двучленов согласно правилу. Нужно обратить внимание на правило вычитания многочленов и учитывая все знаки правильно раскрыть скобки. После этого привести подобные члены и решить элементарное линейное уравнение.

Пример 2:

Комментарий: данный пример решается аналогично предыдущему.

 

Заключение

 

 

Вывод: в данном уроке была рассмотрена операция умножения двучленов, приведены и решены многочисленные примеры на эту операцию. Были решены основные типовые задачи и выведены несколько важных тождеств.

 

 

Список рекомендованной литературы

1. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 7. 6 издание. М.: Просвещение. 2010 г.

2. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра 7. М.: ВЕНТАНА-ГРАФ 

3. Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др. Алгебра 7 .М.: Просвещение. 2006 г.

 

Рекомендованные ссылки на ресурсы интернет

1. Задачи и тесты по геометрии, алгебре, физике и математике (Источник).

2. Школьный помощник (Источник).

3. Подробное решение задач по математике онлайн (Источник).

 

Рекомендованное домашнее задание

Задание 1: Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др. Алгебра 7, № 265, ст.106

Задание 2: Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др. Алгебра 7, № 269, ст.107

Задание 3: Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др. Алгебра 7, № 272, ст.107