Математика
Тема 11: Многочлены: арифметические операции и разложение. Профильный уровеньУрок 11: Формулы сокращённого умножения
- Видео
- Тренажер
- Теория
Квадрат суммы
Как мы уже знаем, числа – это знаки, с помощью которых записываются количества. Причем для записи одного и того же количества можно использовать разные обозначения, например 
.
В зависимости от задачи удобным может быть то или иное представление.
Точно так же удобной может быть запись выражения 
(используя определение степени), или в виде: 
.
Чтобы получить такой вид, раскроем скобки, используя распределительный закон
:
Получили две эквивалентные записи одного и того же:
Тождество 
называется формулой сокращенного умножения (ФСУ), а именно квадратом суммы.
Тождество, равенство, уравнение
Равенство – это запись, в которой между двумя выражениями стоит знак «=».
Например, 
При этом равенство может быть как верным, так и неверным.
Тождество – равенство, которое верно при всех допустимых значениях переменных.
Например, 
Уравнение – равенство, которое содержит буквы (переменные):
Например, 
При этом нас интересуют те значения переменных, при которых равенство выполняется, т. е. является верным.
Основные формулы сокращенного умножения
Такое название неслучайно: если использовать эту формулу для вычислений, то необходимо будет выполнить меньше действий. Чтобы найти значение выражения 
, нужно выполнить 6 операций, а для выражения 
– всего 2.
Таких формул можно получить очень много (любое число тоже можно записать большим количеством способов: 
и т. д.). Но нужны далеко не все.
Выпишем самые основные (те, которые встречаются и используются чаще всего):
В школе часто предлагают запомнить все эти формулы, хотя их легко можно получить: достаточно просто раскрыть скобки, используя распределительный закон. Поэтому помнить их в таком виде нам не нужно, мы всегда сможем их вывести. Полезнее помнить эти формулы справа налево.
Вообще, эти формулы при решении различных заданий будут встречаться так часто, что рано или поздно вы их запомните. Если не помните формулу точно, то всегда можете себя проверить и вывести ее, помня приблизительно внешний вид.
Вывод ФСУ
Раскроем скобки, используя распределительный закон 
:
Коэффициенты из треугольника Паскаля
Коэффициенты при возведении выражения 
в натуральную степень можно записать в виде, который называется треугольником Паскаля (ученого, который первым об этом догадался):
Рис. 1. Треугольник Паскаля
В верхней строчке треугольника стоит единица. В остальных строках каждое число является суммой двух своих соседей этажом выше – слева и справа. Если какой-то из соседей отсутствует, он считается равным нулю:
Рис. 2. Схема образования треугольника Паскаля
Почему это так? Рассмотрим на примере выражения 
.
Зная разложение , получим коэффициенты для разложения :
Также мы знаем, что 
и эти выражения можно получить единственным способом, поэтому у них будут коэффициенты 
.
можно получить двумя способами: 
, поэтому коэффициент будет равен 
. Аналогично с 
.
также можно получить двумя способами: 
, поэтому коэффициент будет 
.
Мы рассмотрели идею доказательства, строго этот факт мы докажем в старших классах.
Связь коэфициентов с комбинаторикой
Рассмотрим выражение 
– по определению степени оно равно:
Чтобы раскрыть скобки, необходимо перемножить слагаемые в каждой из скобок – все со всеми. Поскольку скобок 6, то в каждом слагаемом, которое получится после раскрытия скобок, будет 6 множителей. Выпишем все полученные выражения.
При перемножении из каждой скобки мы можем взять либо 
, либо 
. Если из всех скобок мы возьмем слагаемое , то получим 
, а если , то 
. Поскольку оба этих выбора можно сделать единственным способом, то и слагаемых такого вида будет по одному.
А вот для того чтобы получить выражение 
надо взять из пяти скобок слагаемое , а из одной – слагаемое . Это можно сделать шестью способами (т. к. слагаемое можно брать из любой из 6 скобок, а из остальных 5 – слагаемое ). Поэтому в разложении получится сумма 6 слагаемых 
: 
.
Для выражения 
существует 15 способов выбрать две скобки со слагаемым из 6 скобок (первую скобку можно выбрать 6 способами, вторую – 5 способами, всего получаем 
способов, но каждую пару выбранных скобок мы считали 2 раза, поэтому получаем 
способов).
Получается, что коэффициент при слагаемом 
, которое получается при раскрытии скобок в выражении 
, равен количеству способов выбрать 
предметов (скобок) из 
возможных:
Такое количество обозначается 
.
Тогда получается, что 
.
Несложно убедиться, что количество способов выбрать 0 предметов из , как и количество способов выбрать предметов из (т. е. все предметы), равно .
Таким образом, числа в треугольнике Паскаля являются не только коэффициентами при разложении выражения , но и значениями выражений . Подробнее о них и их свойствах мы поговорим в старших классах.
Использование ФСУ для облегчения вычислений
Пример 1.
Вычислить:
Решение:
Умножать четырехзначные числа в столбик – задача не из легких. А вот использование ФСУ решение значительно упростит:
Используем следующую формулу сокращенного умножения 
:
Можете попробовать выполнить умножение в столбик, чтобы убедиться, что результат получился правильный, а заодно и в том, что использование ФСУ в данном случае существенно упрощает решение задачи.
Ответ: 
.
Пример 2.
Вычислить:
Решение:
Вместо того чтобы возводить в квадрат каждое число, воспользуемся формулой
:
Без использования формулы наши вычисления были бы такими:
Ответ: 
.
Практика
Пример 1.
Вычислить:
Решение:
Представим 
так:
Воспользуемся формулой:
Тогда:
Без использования формулы наши вычисления были бы такими:
Ответ: 
.
Пример 2.
Представить в виде многочлена выражения:
Использование ФСУ для упрощения выражений
Использование ФСУ позволяет не только облегчить вычисления, но и упростить различные выражения.
Если посмотреть на правые части всех ФСУ, то можно увидеть, что в них во всех встречаются либо квадраты (
), либо кубы переменных (
).
Они могут встречаться в простом виде, например как 
или 
, или в более сложном виде, например 
. Т. к. 
, то 
.
Еще один пример 
: 
, тогда 
.
Рассмотрим примеры использования ФСУ в таких случаях.
Пример 3.
Разложить на множители:
Решение:
Видим квадраты:
Тогда:
Введем обозначение 
:
Получили левую часть формулы .
Используем ее:
Ответ: 
.
Основная идея решения заданий с помощью ФСУ: сначала находим квадраты и кубы, определяем 
, а затем раскладываем оставшиеся слагаемые на множители, чтобы проверить, действительно ли можно использовать ФСУ.
Пример 4.
Разложить на множители:
Решение:
Сначала найдем квадраты выражений. Один из квадратов видно сразу: 
, а 
– это второй квадрат.
Поэтому можно переписать изначальное выражение так:
Значит, предположительно, 
. Похоже на формулу квадрата суммы:
Осталось проверить:
В результате получаем:
Ответ: 
.
Пример 5.
Разложить на множители:
Решение:
1. Мы видим, что в выражении есть кубы: 
– это первый куб, а 
– это второй куб.
Значит, можно предположить, что: 
.
Напрашивается применение формулы:
Осталось проверить, являются ли оставшиеся слагаемые для предполагаемых и выражениями 
:
В результате получаем:
Ответ: 
.
2. Выражение содержит кубы, в нем всего два слагаемых, между которыми стоит знак минус.
Напрашивается применение формулы:
– это первый куб.
– это второй куб.
Значит, 
.
Получаем:
Ответ: 
.
Выделение полного квадрата
ФСУ применимы не ко всем выражениям.
Например,
Мы уже знаем, что
Видно, что части выражений, содержащие переменную, одинаковы: 
.
Перепишем:
Выделение полного квадрата – это такое тождественное преобразование, при котором выражение представляется в виде квадрата суммы или разности и некоторого числового или буквенного выражения.
Рассмотрим алгоритм выделения полного квадрата на примере.
Пример 1.
Выделить полный квадрат:
Решение:
Для выделения полного квадрата мы используем ФСУ:
Будем выделять полный квадрат на основе слагаемых, содержащих переменную:
Воспользуемся формулой 
, которая в нашем случае принимает вид:
Обозначим: 
.
Теперь вычтем из одного равенства другое:
Откуда:
Можно получить этот же результат и по-другому.
Определим , добавим и вычтем его квадрат (вычитать необходимо для того, чтобы выражение не изменилось):
Чтобы получилось 
, неизвестное должно быть равно: 
.
Ответ: 
.
Пример 2.
Выделить полный квадрат:
Решение:
Для выделения полного квадрата мы используем ФСУ:
Ответ: 
.
Заключение
На этом уроке мы вывели и научились использовать ФСУ:
Их применение позволяет нам сократить количество выполняемых операций и упростить некоторые вычисления. Также они понадобятся нам для разложения многочленов на множители.
Список литературы
- Никольский С.М., Решетников Н.Н., Потапов М.К., Шевкин А.В. Алгебра. 7 класс. Учебник. – ФГОС, издательство «Просвещение», 2017.
- Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. Алгебра. 7 класс. Учебник. – Издательство «Просвещение», 2014.
- Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра. 7 класс. Учебник. – Издательство «Просвещение», 2013.
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
- Интернет-портал yaklass.ru (Источник)
- Интернет-портал calcs.su (Источник)
- Интернет-портал youclever.org (Источник)
Домашнее задание
1. Представить в виде многочлена:
2. Разложить на множители:
3. Выделить полный квадрат:
