Математика

Формулировка темы и цели урока

 

 На предыдущем уроке мы решали задачи с применением метода математического моделирования. Отличие этого урока заключается в том, что в задачах будут присутствовать элементы геометрии. Рассмотрим примеры.

 

 

Решение задачи №1, напоминание теоретических положений

 

 

Пример 1

 

Длина прямоугольника на 20 м больше его ширины. Если длину прямоугольника уменьшить на 10 м, а ширину увеличить на 6 м, то его площадь увеличится на 12 м². Найдите стороны прямоугольника.

Рассмотрим некоторые теоретические положения.

Обозначим сторону AD за х. Это длина прямоугольника. Сторону АВ обозначим за у, это ширина прямоугольника. Напомним, что противоположные стороны прямоугольника равны, а значит, ; .

Запишем формулу площади прямоугольника, которая вычисляется как произведение длины на ширину:

.

Запишем формулу периметра прямоугольника, который вычисляется как сумма длин всех сторон:

.

Итак, перейдем к решению задачи. Снова пользуемся методом математического моделирования.

1 этап – составление математической модели.

Примем ширину прямоугольника за . В условии сказано, что длина на 20 м больше ширины, отсюда получаем, что длина равна .

В условии речь идет о том, что площадь нового прямоугольника увеличится по сравнению с площадью данного. Запишем для начала площадь данного прямоугольника:

.

Далее в задаче сказано, что длину исходного прямоугольника уменьшили на 10 м, значит, длина нового прямоугольника будет .

Про ширину сказано, что ее увеличили на 6 м, значит, ширина станет .

 

Кроме того, нам нужна площадь нового прямоугольника, запишем ее:

.

В условии сказано, что площадь нового прямоугольника больше площади исходного на 12 м². Запишем это в виде уравнения:

.

Математическая модель составлена.

2 этап – работа с математической моделью.

В данном случае работа с моделью заключается в решении составленного уравнения. Для того чтобы решить его, нужно выполнить умножение многочленов, после привести подобные члены, перенести все неизвестные влево, а свободные члены вправо и решить элементарное линейное уравнение.

;

;

;

;

;

;

;

;

.

3 этап – ответ на вопрос задачи.

В условии было задано найти стороны исходного прямоугольника. Мы нашли , за  была принята ширина, длина была обозначена как , значит, длина равна .

Ответ: ширина – 12 м, длина – 32 м.

 

Решение задачи №2

 

 

Пример 2

 

Периметр прямоугольника равен 240 см. Если длину прямоугольника уменьшить на 14 см, а ширину увеличить на 10 см, площадь его увеличится на 4 см². Найти стороны прямоугольника.

1 этап – составление математической модели.

Пусть длина прямоугольника равна х. Известен периметр, который, как мы знаем, равен сумме длин всех сторон, значит, можем вычислить ширину:

Запишем площадь исходного прямоугольника:

.

Далее стороны прямоугольника необходимо изменить, а именно: длину прямоугольника уменьшить на 14 см, а ширину увеличить на 10 см. получим, что новая длина равна , а новая ширина .

Кроме того, запишем площадь нового прямоугольника:

.

В условии сказано, что площадь нового прямоугольника увеличится на 4 см² относительно площади исходного. Запишем это в виде уравнения:

.

Составление модели завершено.

2 этап – работа с математической моделью.

Решим составленное уравнение:

;

;

;

;

;

;

;

;

;

3 этап – ответ на вопрос задачи.

Было задано найти стороны исходного прямоугольника. Мы нашли , за х была принята длина прямоугольника. Ширина была определена как , значит, она равна .

Ответ: стороны прямоугольника равны 76 и 44 сантиметра.

 

Выводы по уроку

 

 

Вывод: на данном уроке были решены две текстовые задачи с элементами геометрии и приобретены навыки решения такого типа задач. Кроме того, закреплены навыки использования метода математического моделирования.

 

 

Список литературы

1. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 7. 6 издание. – М.: Просвещение, 2010.
2. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра 7. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ. 
3. Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др. Алгебра 7 – М.: Просвещение, 2006.

 

Домашнее задание

1. Задание 1: сторона квадрата на 7 см меньше длины и на 15 см меньше ширины прямоугольника. Найти стороны прямоугольника, если площадь квадрата на 215 см² меньше площади прямоугольника.
2. Задание 2: длина прямоугольника в четыре раза больше его ширины. Если длину уменьшить на 20 см, а ширину увеличить на 10 см, то площадь прямоугольника уменьшится на 100 см². Найти стороны прямоугольника.
3. Задание 3: периметр прямоугольника равен 28 см. Если его длину увеличить на 5 см, а ширину уменьшить на 2 см, то его площадь увеличится на 3 см². Найти площадь исходного прямоугольника.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Задачи и тесты (Источник).
2. Школьный помощник (Источник).