Математика

Третий признак равенства треугольника

 

Напоминание:

 

1. Геометрические фигуры, а в данном случае треугольники, равны, если они совмещаются наложением.

Рис. 1. Напоминание 1

треугольник АВС = треугольнику , поскольку они совмещаются наложением.

2. Совмещающиеся (соответственные) элементы равны

Вспомним формулировку третьего признака равенства треугольников.

Третий признак, как и любой другой признак, гарантирует равенство (совмещение) треугольников. Третий признак – это признак по трем сторонам. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Рис. 2. Чертеж к третьему признаку равенства треугольников

Отсюда следует, что треугольники АВС и равны по третьему признаку. А это означает равенство всех соответственных углов.

 

Решение задач

 

 

Пример 1:

 

Дано:АС = ВС, АD = BD, ∠CAD =

Найти:∠CBD.

Решение: Выполним пояснительный рисунок:

Рис. 3. Чертеж к примеру 1

Значит, треугольники АСD и ВСD равны по третьему признаку равенства треугольников, то есть по трем сторонам. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов. ∠СВD = ∠САD = 

Ответ:

Пример 2:

Дано: АО = ОВ, СО = ОD.

Доказать:треугольник ADC =  треугольникуBCD.

Доказательство. Выполним пояснительный рисунок:

Рис. 4. Чертеж к примеру 2

1. треугольник АОС =  треугольнику BOD. Эти треугольники равны по первому признаку равенства треугольников (СО = OD – по условию, АО = ОВ – по условию, ∠АОС = ∠DOB – как вертикальные). Отсюда следует, что АС = BD. Обозначим их за .

2. треугольник ВОС = треугольнику АOD. Эти треугольники равны по первому признаку равенства треугольников (СО = OD – по условию, АО = ОВ – по условию, ∠СОВ = ∠DOА – как вертикальные). Отсюда следует, что ВС = АD. Обозначим их за .

3. .

Отсюда следует, что треугольники ADC и BCD равны по третьему признаку равенства треугольников, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

Пример 3:

Дано: АВ = CD, AC = BD, ∠BAC = 

Найти:∠CDB.

Решение: Выполним пояснительный рисунок:

Рис. 5. Чертеж к примеру 3

1) треугольник ВАС = треугольнику CDB по третьему признаку равенства треугольников (ВС – общая сторона, АВ = CD – по условию, АС = BD – по условию).

2) ∠CDB = ∠ВАС =. Это следует из равенства треугольников. Оба угла лежат против общей стороны ВС.

Ответ:

Пример 4:

Дано: АВ = ВС = CD = DA.

Доказать:∠1 = ∠2 = ∠3 = ∠4.

Доказательство: Выполним пояснительный рисунок:

Рис. 6. Чертеж к примеру 4

1. треугольник АСВ = треугольнику АСD по третьему признаку равенства треугольников (АС – общая сторона, другие стороны равны по условию). Из равенства треугольников имеем равенство соответствующих углов. ∠1 = ∠2, ∠3 = ∠4.

2. Треугольник АВС – равнобедренный, а значит,∠1 = ∠3. Треугольник АСD – также равнобедренный, ∠2 = ∠4.

3. ∠1 = ∠2 = ∠3 = ∠4, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

На сегодняшнем уроке мы рассмотрели некоторые типовые задачи на третий признак равенства треугольников. С признаками равенства треугольников мы далее будем встречаться неоднократно. На следующем уроке мы познакомимся с признаками параллельности прямых.

 

Список рекомендованной литературы

1. Александров  А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. и др. Геометрия 7. – М.: Просвещение.
2. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия 7. 5-е изд. – М.: Просвещение.
3. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолова В.В. Геометрия 7 / В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, В.В. Прасолова, под ред. Садовничего В.А. – М.: Просвещение, 2010.

 

Рекомендованные ссылки на интернет-ресурсы

1. Обобщающий урок по геометрии в 7-м классе на тему «Треугольники» (Источник).

2. Прямая линия. Отрезок (Источник).

 

Рекомендованное домашнее задание

1. № 39. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолова В.В. Геометрия 7 / В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, В.В. Прасолова, под ред. Садовничего В.А. – М.: Просвещение, 2010.

2. АВ = ВС, АК = КС. Докажите, что треугольник АВК = треугольнику СВК.

3. Докажите равенство равнобедренных треугольников по основанию и высоте, проведенной к ней.

4. На стороне угла А обозначены точки В и С, а на второй – точки М и К так, что АВ = АМ и АС = АК. Докажите, что точка пересечения отрезков ВК и СМ лежит на биссектрисе угла А. Возможно ли воспользоваться этим построением, чтобы разделить на местности угол пополам, не пользуясь углоизмерительными приборами?