Математика

Преобразование выражений. Тождество.

Основные свойства сложения и умножения чисел применяются для упрощения расчётов. Вспомним эти свойства.

Переместительное свойство:

a+b = b+a

a*b = b*a

Сочетательное свойство:

(a+b)+c = a+(b+c)

(a*b)*c = a*(b*c)

То есть в любой сумме и в любом произведении можно переставлять числа и объединять их в группы так, как нам удобно.

Пример 1. Вычислим значение выражения 1,23+1,5+4,27.

Удобно объединить слагаемые 1,23 и 4,27, так как их сумму можно посчитать довольно быстро устно – 5,5. Потом сложим 5,5 и 1,5. Ответ – 7.

Запишем решение:

1,23+1,5+4,27 = (1,23+4,27)+1,5 = 5,5+1,5 = 7.

Пример 2. Вычислим 1,8*0,25*64*0,5 = (1,8*0,5)*(0,25*64) = 0,9*16 = 14,4.

К основным свойствам сложения и умножения чисел относится также распределительное свойство. Если говорить образно, то мы «умножаем фонтанчиком». Это свойство можно применять при любом количестве слагаемых в скобках.

Пример 3. Найдем значение выражения $36\bullet \left(\frac{1}{4}-\frac{5}{18}\right)$.

Вместо того, чтобы подсчитывать значение выражения в скобках, приводя к общему знаменателю, применим распределительное свойство.

$36\bullet \left(\frac{1}{4}-\frac{5}{18}\right)=36·\frac{1}{4}-36\bullet \frac{5}{18}=9-10=-1$.

Подсчитаем значение этого выражения «классическим» способом и убедимся, что получится тот же самый ответ.

То есть $36\bullet \left(\frac{1}{4}-\frac{5}{18}\right)=36·\frac{1}{4}-36\bullet \frac{5}{18}$.

Значение выражения в правой части равенства равно значению выражения в левой части равенства.

Распределительное свойство верно при любых значениях входящих в него переменных.

Два выражения, значения которых равны при любых допустимых значениях переменных, называются тождественно равными.

Что такое «допустимые значения переменных»? Это такие значения, при которых выражение, содержащее эти переменные, имеет смысл (не появляется деление на ноль и т.д.).

Равенство, верное при всех допустимых значениях входящих в него переменных, называется тождеством. Тождествами считают и верные числовые равенства.

Если мы заменим какое-либо выражение тождественно равным ему выражением, то такое преобразование называется тождественным преобразованием или просто преобразованием выражения.

Приведение подобных слагаемых, раскрытие скобок – все это относится к тождественным преобразованием. Преобразование выражений с применением основных свойств сложения и умножения – тоже тождественные преобразования.