Математика

Параллелограмм. Признаки параллелограмма.

Параллелограмм – четырехугольник, у которого каждые две противоположные стороны параллельны.

 

 

Основные свойства параллелограмма:

1. ∠ВАD = ∠BCD, ∠ABC = ∠CDA (противоположные углы равны).

2. AB = DC, BC = AD (противоположные стороны равны).

   Первые два свойства следуют из равенства треугольников ABC и ACD, а также треугольников ABD и BCD.

3. AO = OC, BO = OD (диагонали точкой пересечения делятся пополам).

   Третье свойство следует из равенства треугольников BOC и AOD.

4. ∠BAD + ∠ABC = 180° (сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°).

   Четвертое свойство следует из параллельности прямых BC и AD, а также AB и CD.

Первый признак параллелограмма. Если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник – параллелограмм.

 

 

Дано: АВ||CD, AB = CD.

Доказать: ABCD – параллелограмм.

Доказательство: проведем в четырехугольнике диагональ, она разобьет его на два треугольника. Запишем, что мы знаем об этих треугольниках:

AB = CD по условию.

BD – диагональ параллелограмма, является общей стороной для треугольников АВD и BCD.

∠АВD = ∠ВDС как накрест лежащие.

Значит, треугольник АВD равен треугольнику BCD по первому признаку равенства треугольников.

Из равенства указанных треугольников следует, что ∠СВD = ∠АDB, а значит, АD||BC по признаку параллельности прямых при пересечении их секущей. Имеем, что AB||CD и AD||BC, значит АВСD – параллелограмм по определению.

Второй признак параллелограмма. Если в четырехугольнике каждые две противоположные стороны равны, то этот четырехугольник – параллелограмм.

 

 

Дано: АВ = СD, AD = BC.

Доказать: ABCD – параллелограмм.

Доказательство: проведем в четырехугольнике диагональ BD, она разобьет его на два треугольника. Запишем, что мы знаем об этих треугольниках:

АВ = СD по условию.

AD = BC по условию.

BD – общая сторона.

Значит, треугольник АВD равен треугольнику CBD по третьему признаку равенства треугольников.

Из равенства треугольников следует, что ∠СВD = ∠АDB, ∠АВD = ∠ВDС, а значит, АD||BC и AB||DC по признаку параллельности прямых при пересечении их секущей. Получаем AD||BC и AB||DC, значит АВСD – параллелограмм по определению.