Математика

 

 

Тема: Действительные числа

 

Урок: Модуль действительного числа

 

1. Определения модуля

 

 

Рассмотрим такое понятие, как модуль действительного числа, у него есть несколько определений.

 

Определение 1. Расстояние от точки на координатной прямой до нуля называется модулем числа, которое является координатой данной точки (рис. 1).

 

 

Рис. 1.

Пример 1. . Заметим, что модули противоположных чисел равны и неотрицательны, т. к. это расстояние, а оно не может быть отрицательным, и расстояние от симметричных относительно нуля чисел до начала отсчета равны.

Определение 2. .

Пример 2. Рассмотрим одну из задач, поставленную в предыдущем примере для демонстрации равносильности введенных определений. , как видим, при отрицательном числе под знаком модуля добавление перед ним еще одного минуса обеспечивает неотрицательный результат, как и следует из определения модуля.

Следствие. Расстояние между двумя точками с координатами  на координатной прямой можно найти следующим образом  в независимости от взаимного расположения точек (рис. 2).

 

 

 

Рис. 2.

 

2. Основные свойства модуля

 

 

1. Модуль любого числа неотрицателен

 

,

2. Модуль произведения – это произведение модулей

,

3. Модуль частного – это частное модулей

,

4. ,

5. .

 

3. Решение задач

 

 

Пример 3. Решить уравнение .

 

Решение. Воспользуемся вторым определением модуля:  и запишем наше уравнение в виде системы уравнений при различных вариантах раскрытия модуля.

.

Ответ..

Пример 4. Решить уравнение .

Решение. Аналогично решению предыдущего примера получаем, что .

Ответ..

Пример 5. Решить уравнение .

Решение. Решим через следствие из первого определения модуля: . Изобразим это на числовой оси с учетом того, что искомый корень будет находиться на расстоянии 2 от точки 3 (рис. 3).

 

 

Рис. 3.

 Исходя из рисунка, получаем корни уравнения: , т. к. точки с такими координатами находятся на расстоянии 2 от точки 3, как то требуется в уравнении.

Ответ. .

Пример 6. Решить уравнение .

Решение. По сравнению с предыдущей задачей имеется только одно усложнение – это то, что нет полного сходства с формулировкой следствия о расстоянии между числами на координатной оси, т. к. под знаком модуля находится знак плюс, а не минус. Но привести к необходимому виду несложно, что мы и проделаем:

. Изобразим это на числовой оси аналогично предыдущему решению (рис. 4).

 

 
 

Рис. 4.

Корни уравнения .

Ответ. .

Пример 7. Решить уравнение .

Решение. Это уравнение еще немного сложнее предыдущего, т. к. неизвестная находится на втором месте и со знаком минус, кроме того, она еще и с числовым множителем. Для решения первой проблемы воспользуемся одним из свойств модуля  и получим:

.

Для решения второй проблемы выполним замену переменных: , что приведет нас к простейшему уравнению . По второму определению модуля . Подставим эти корни в уравнение замены и получим два линейных уравнения:

 и .

Ответ..

 

4. Квадратный корень и модуль

 

 

Довольно часто в ходе решения задач с корнями возникают модули, и следует обратить внимание, в каких ситуациях они возникают.

 

При первом взгляде на это тождество могут возникнуть вопросы: «зачем там модуль?» и «почему неверно тождество ?». Оказывается, что можно привести простой контрпример для второго вопроса: если то должно быть верно, чточто равносильно, а это неверное тождество.

После этого может возникнуть вопрос: «а не решает ли проблему такое тождество », но и для этого предложения тоже есть контрпример. Еслито должно быть верно, чточто равносильно, а это неверное тождество.

Соответственно, если вспомнить, что квадратный корень из неотрицательного числа является неотрицательным числом, и значение модуля является неотрицательным, становится понятно, почему верно указанное выше утверждение:

.

Пример 8. Вычислить значение выражения .

Решение. В подобных заданиях важно не избавиться бездумно сразу от корня, а воспользоваться указанным выше тождеством , т. к. .

Ответ..

Пример 9.  Решить уравнение .

Решение. Заметим, что подкоренное выражение можно упростить с помощью формулы полного квадрата: . Аналогичные уравнения мы умеем решать и сводим данное уравнение к виду расстояния между точками на числовой оси   , и изображаем решение на рисунке 5.

 

 

 

Рис. 5.

 Получаем корни уравнения .

Ответ. .

На сегодняшнем занятии мы основное внимание уделили геометрическому способу решения задач с модулями, однако существует еще достаточно много других подходов к решению, которые мы рассмотрим позже.

На следующем уроке мы поговорим о таком понятии, как возведение числа в отрицательную степень.

 

Список литературы

1. Башмаков М.И. Алгебра 8 класс. – М.: Просвещение, 2004.

2. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 2010.

3. Никольский С.М., Потапов М.А., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2006.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Мир уроков (Источник).

2. YouTube (Источник).

3. YouTube (Источник).

 

Домашнее задание

1. Найдите: а) ; б) ; в) .

2. Решите уравнение: а) ; б) ; в).

3. Упростите выражение: а) ; б) .

4. Упростите выражение , если .