Математика

Тема 11: Функция y =√x и функция y=k/x. Профильный уровень

Урок 18: Функция y=k*x2, ее свойства и график

Видео
Тренажер
Теория

Заметили ошибку?

Свойства функции y=x²

График мы строили по точкам. Выглядел он так (см. рис. 1):

Рис. 1. График функции

Обратите внимание, что значение функции в любой точке у нас неотрицательно – это логично, т. к. при возведении в квадрат не может получиться отрицательное число, а значит, все, что под осью , нашему графику принадлежать не может.

Обратим также внимание и на то, что этот график симметричен относительно оси ординат. Есть специальное название для таких функций: они называются четными. Четные функции имеют график, симметричный относительно , а связано это с тем, что , как и для нашей функции.

Заметим также, что до наш график убывает, а после – возрастает (см. рис. 2).

Рис. 2. Убывание и возрастание графика функции

Соответственно, чем больше (при ), тем больше и чем больше (при ), тем больше .

Свойства функции y=kx²* при k > 0

Теперь попробуем поменять , пока будем брать его только положительным.

Например, возьмем и . Если строить графики по точкам, то можно увидеть, что при (см. рис. 3).

Рис. 3. Графики функций (синий график) и (красный)

Хоть мы и привели всего три примера, но уже можно сделать некоторые выводы относительно функции , при . Во-первых, график такой функции лежит в верхней полуплоскости. И это логично: если квадрат числа (неотрицательное число) умножить на положительное число , то результат будет неотрицателен.

Свойство 1. Множество значений функции при – все неотрицательные числа ().

Далее отметим, что при подстановке в данную функцию мы все равно получим . Поэтому можем сформулировать еще одно свойство.

Свойство 2. График при симметричен относительно оси (см. рис. 4).

Рис. 4. Четность функций

Такие функции называются четными.

Подробнее о свойствах функций

Итак, мы с вами говорим о некоторой функции . Выделим несколько ее свойств.

1. Четность. Говорят, что функция четна, если для любого из ее области определения . Например, – четные функции.

График четной функции всегда симметричен относительно оси ординат (см. рис. 5).

Рис. 5. Симметрия графика четной функции относительно оси ординат

Аналогично функция называется нечетной, если для любого из ее области определения . В частности, – нечетные функции. График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

2. Монотонность. Говорят, что функция возрастает (строго) на некотором промежутке, если для любых . Если же для всех таких : , функция убывает на данном промежутке.

Например. . Тогда, если , то (т.к. ). Значит, функция возрастает при положительных . Аналогично доказывается, что она убывает при отрицательных .\\

По графикам и по уравнению функции видно, что ее наименьшее значение достигается в нуле и равно оно нулю (действительно, квадрат любого другого числа строго положителен). Наибольшего значения нет: чем больше мы возьмем по модулю , тем больше получится .

Свойство 3. График при возрастает при положительных и убывает при отрицательных (см. рис. 6).

Рис. 6. Убывание и возрастание функции

Преобразование графика функции y=kx²* при изменении k

Что произойдет с графиком, если мы увеличим число ? Если строить по точкам, то при увеличении , например, в два раза, ордината точки с одной и той же абсциссой увеличится в эти же два раза. То есть, по идее, график должен стать уже. И наоборот, при уменьшении (оставляя его положительным) – шире (см. рис. 3). Эту гипотезу можно проверить наглядно (см. рис. 7 и рис. 8).

Рис. 7. При уменьшении график расширяется

Рис. 8. При увеличении график сужается

Таким образом, помня это свойство, всегда можно построить график функции в зависимости от сузив или расширив график функции .

Задача (k > 0)

Какое наибольшее и какое наименьшее значение принимает функция на отрезке (См. рис. 9.)

Рис. 9. График функции

Решение

С наименьшим значением все понятно: по графику (и по свойству) видно, что наименьшее значение . А что с наибольшим? Можно заметить, что чем дальше абсцисса от нуля, тем больше значение функции. Это и логично: значение функции тем больше, чем больше модуль абсциссы. Значит, наибольшее значение достигается в точке и равно оно .

Ответ: .

Свойства функции y=kx²* при k < 0

Теперь обратимся к отрицательным . Можно функцию при нарисовать по точкам. А можно взять, например, график , который мы уже умеем строить, а затем домножить каждое значение на . Как построить график? Домножение на меняет знак ординаты, значит, по сути, мы просто зеркально отражаем график относительно оси абсцисс (см. рис. 10).

Рис. 10. Построение функции при

1. Свойство 1. Множество значений функции при – все неположительные числа () (см. рис. 11).

График функции находится в нижней полуплоскости.

Рис. 11. Функция при принимает неположительные значения

2. Свойство 2. График при симметричен относительно оси – функция четная ().

3. Свойство 3. График при возрастает при отрицательных и убывает при положительных (см. рис. 12).

Рис. 12. Убывание и возрастание функции при

4. Преобразования графика функции при : при уменьшении график сужается, при увеличении – расширяется (см. рис. 13).

Рис. 13. Преобразования графика функции при

Задача (k < 0)

При каком значении график функции проходит через точку ? Изобразите этот график.

Решение

Подставим координаты точки в уравнение. Получим: .

Теперь строим график (см. рис. 14).

Рис. 14. График функции

По графику можно проверить себя – график проходит через точку .

Обратите внимание, что отрицательность числа была очевидна сразу: раз наша функция принимает отрицательное значение хотя бы в одной точке, то должно быть отрицательным.

Ответ: .

Уравнение

Решить уравнение: .

Решение

Решим данное уравнение графически, построив графики левой и правой частей уравнения (см. рис. 15):

Рис. 15. Решение уравнения графическим методом

По графику видно, что данное уравнение имеет два решения: и . Обратите внимание, что если корень легко увидеть по графику, то уже сложнее – это нецелое число. Поэтому обычно в таких случаях выдвигается гипотеза, что – корень, а дальше выполняется проверка путем подстановки.