Математика

Функция

 

, где:

 

 – независимая переменная (аргумент);

 – зависимая переменная (функция);

 – коэффициент (число).

График функции – это множество точек , где .

 

Функция

 

 

Коэффициент  может принимать любые значения, кроме . Рассмотрим сначала случай, когда ; таким образом, сначала речь пойдет о функции .

 

Чтобы построить график функции , дадим независимой переменной  несколько конкретных значений и вычислим (по формуле) соответствующие значения зависимой переменной . Результаты запишем в таблицу: одна таблица для , другая – для .

Построим найденные точки , , , , , на координатной плоскости  и соединим их, при этом получим правую ветвь графика (см. Рис. 1).

Рис. 1. Правая ветвь графика

Построим найденные точки , , ,  на координатной плоскости  и соединим их, при этом получим левую ветвь графика (см. Рис. 2).

 Рис. 2. Левая ветвь графика

Объединим эти две ветви (см. Рис. 3). Это и есть график функции , его называют гиперболой.

Рис. 3. График функции  (гипербола)

Видно, что график состоит из двух частей. Эти части называют ветвями гиперболы. 

 

Исследование графика

 

 

1. Для  (правая ветвь):

 

- при  стремящемся к плюс бесконечности,  стремится к нулю:

, , следовательно, ось  – это горизонтальная асимптота.

Асимптота (от греческого asimptotos – «несовпадающая») – прямая, к которой бесконечная ветвь кривой приближается неограниченно.

- при  стремящемся к нулю,  стремится к плюс бесконечности:

, , следовательно, ось  – это вертикальная асимптота.

Для  (левая ветвь):

- при  стремящемся к минус бесконечности,  стремится к нулю:

, , следовательно, ось  – это горизонтальная асимптота.

- при  стремящемся к нулю,  стремится к минус бесконечности:

, , следовательно, ось  – это вертикальная асимптота.

2. Для  (правая ветвь)

Возьмём любые две точки  и , получим отрезок  и дугу . Дуга находится под отрезком, следовательно, изучаемая функция выпуклая вниз при.

Для  (левая ветвь)

Возьмём любые две точки  и , получим отрезок  и дугу . Дуга находится над отрезком, следовательно, изучаемая функция выпуклая вверх при  (см. Рис. 4).

Рис. 4. Исследование функции

 Напоминание

Осевая симметрия (симметрия относительно прямой)

Точки  и  симметричны относительно прямой , если она служит срединным перпендикуляром к отрезку  (см. Рис. 5).

 Рис. 5. Осевая симметрия

Центральная симметрия (симметрия относительно точки)

Точки  и  симметричны относительно точки , если отрезок  равен отрезку  (см. Рис. 6).

 Рис. 6. Центральная симметрия

3. Построим прямую . Если перегнуть график исследуемой функции через эту прямую, то ветви совместятся. Например, точка  совместится с точкой . Следовательно, прямая  является срединным перпендикуляром к отрезку . Таким образом, прямая  – это ось симметрии графика  (см. Рис. 7).

 Рис. 7. Ось симметрии гиперболы

4. Точка с координатами  – центр симметрии графика .

 

Свойства функции  при

 

 

Мы рассмотрели свойства функции , эти же свойства сохранятся для функции  при любом  (см. Рис. 8).

 

1. Область определения функции – это множество всех действительных чисел, кроме .

2. Числа и  одного знака, следовательно:

 при  

 при  

3. Функция не ограничена ни снизу, ни сверху. Это следует из того, что

4. При  функция убывает и является выпуклой вверх; при  функция убывает и является выпуклой вниз.

5. Точка  – центр симметрии гиперболы.

6. Прямая  ось симметрии гиперболы.

Рис. 8. График функции  при

 

Доказательство осевой симметрии гиперболы

 

 

Дан график функции .

 

1. Пусть  – это любое значение аргумента из области определения. Тогда на ветви гиперболы имеем точку .

2. Пусть  – это любое значение аргумента из области определения. Тогда на ветви гиперболы имеем точку .

Необходимо доказать, что произвольно выбранная точка  симметрична точке  относительно прямой  (см. Рис. 9).

 Рис. 9. Иллюстрация к доказательству

Доказательство

1. Отметим на оси абсцисс точку , а на оси ординат – точку  (см. Рис. 10).

2. Рассмотрим прямоугольные треугольники  и . Эти треугольники равны по двум катетам (; ). Из равенства этих треугольников следует:

а) ;

б) ;

в)  (так как прямая  является биссектрисой координатного угла, а )

3. Рассмотрим треугольник : он равнобедренный, прямая  лежит на биссектрисе этого треугольника. Известно, что в равнобедренном треугольнике биссектриса, исходящая из угла, образованного равными сторонами, является также и высотой, и медианой. Следовательно, прямая  является срединным перпендикуляром к отрезку ; произвольно выбранная точка  симметрична точке  относительно прямой .

Так как точки были выбраны произвольно, то и вся кривая  симметрична относительно оси .

 Рис. 10. Иллюстрация к доказательству

 

Свойства функции  при

 

 

При  ветви гиперболы расположены во втором и четвертом координатных углах (см. Рис. 11).

 

1. Область определения функции – это множество всех действительных чисел, кроме .

2. Числа и  разного знака, следовательно:

 при  

 при  

3. Функция не ограничена ни снизу, ни сверху.

4. При  функция возрастает и является выпуклой вниз; при  функция возрастает и является выпуклой вверх.

5. Точка  – центр симметрии гиперболы.

6. Прямая  ось симметрии гиперболы.

 Рис. 11. График функции  при

 

Список литературы

1. Баш­ма­ков М.И. Ал­геб­ра 8 класс. – М.: Про­све­ще­ние, 2004.
2. До­ро­фе­ев Г.В., Су­во­ро­ва С.Б., Бу­ни­мо­вич Е.А. и др. Ал­геб­ра 8. 5 из­да­ние. М.: Про­све­ще­ние, 2010.
3. Ни­коль­ский С.М., По­та­пов М.А., Ре­шет­ни­ков Н.Н., Шев­кин А.В. Ал­геб­ра 8 класс. Учеб­ник для об­ще­об­ра­зо­ва­тель­ных учре­жде­ний. – М.: Про­све­ще­ние, 2006.
4. Мордкович А.Г. Алгебра 8 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учеб­ник для об­ще­об­ра­зо­ва­тель­ных учре­жде­ний. – М.: Мнемозина, 2010.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Nado5.ru (Источник).
2. Studyport.ru (Источник).
3. Youtube (Источник).

 

Домашнее задание

1. Упражнения 100, 101, 102 (стр. 39) Ни­коль­ский С.М., По­та­пов М.А., Ре­шет­ни­ков Н.Н., Шев­кин А.В. Ал­геб­ра 8 класс (Источник).

2. 

а) Для каких x определена функция ?

б) Является ли функция  убывающей для положительных ?

в) К чему стремится , когда положительное  стремится к 0?

г) Является ли функция  непрерывной для положительных ?