Математика

Повторение

 

График функции  является гиперболой, ветви которой лежат в первом и третьем координатных углах при  и во втором и четвертом координатных углах при  (см. Рис. 1).

 

Рис. 1. График функции

 

Задача 1

 

 

Выясните взаимное расположение кривых  и .

 

Решение

Составим таблицу значений для двух данных функций.

Из таблицы видно, что все ординаты функции  в два раза больше ординат функции  при одинаковых значениях . Изобразим графики данных функций на координатной плоскости (см. Рис. 2).

 Рис. 2. Иллюстрация к задаче

Следовательно, график функции  получается из графика функции  путем растяжения ветвей гиперболы относительно оси .

 

Задача 2

 

 

Найти множество значений функции  при . Найти ее наименьшее и наибольшее значение.

 

Решение

Для наглядности нарисуем график функции  (см. Рис. 3). Область определения функции  при  выделена на рисунке 3 красным цветом.

Рис. 3. Иллюстрация к задаче

Функции  при  убывает от  до 0. Видно, что при  функция равна 9 (см. Рис. 4), проверим это, подставив в выражение  значение аргумента :

 

Видно, что при  функция равна 1 (см. Рис. 4), проверим это, подставив в выражение  значение аргумента :

 Рис. 4. Иллюстрация к задаче

Следовательно, множество значений функции  при  – это отрезок ; наименьшее значение равно 1, оно достигается при ; наибольшее значение равно 9, оно достигается при .

Ответ: ; наименьшее: ; наибольшее: .

 

Задача 3

 

 

Решить графически систему:

 

 

Решение

Построим графики данных функций. График функции  – это гипербола, а график функции  – это прямая (см. Рис. 5).

 Рис. 5. Иллюстрация к задаче

На рисунке видно, что графики этих функций пересекаются в двух точках, следовательно, система имеет 2 решения (больше решений быть не может, так как при  и : функция  убывает, а функция  возрастает).

Определим координаты точек пересечения: ; .

Можно проверить найденные значения, подставив их в систему уравнений:

 

При ; :

 – верно;

При ; :

 – верно.

Ответ: ; .

 

Задача 4

 

 

Найти число решений системы:

 

 

Решение

Построим графики данных функций. График функции  – это гипербола, а график функции  – это прямая (см. Рис. 6). На рисунке видно, что графики этих функций пересекаются в двух точках, следовательно, система имеет 2 решения.

 Рис. 6. Иллюстрация к задаче

Ответ: 2 решения.

 

Задача 5

 

 

Решить графически уравнение: . Найти точки пересечения графиков функций: , .

 

Решение

1. Построим график функции  – гиперболу, ветви которой расположены во втором и четвертом координатных углах (см. Рис. 7).

2. Построим график линейной функции . Это прямая, ее можно построить по двум точкам  и  (см. Рис. 7).

 Рис. 7. Иллюстрация к задаче

3. На рисунке видно, что прямая и гипербола пересекаются в точках  и .

4. Выполним проверку, подставив в уравнение  значения  в точках  и .

 

При :

 

 

При :

 

 

Следовательно, уравнение имеет 2 корня: ; .

Ответ: ; . ; .

 

Задача 6

 

 

Решить графически систему уравнений:

 

 

Решение

1. При :

 – решений нет.

При :

 – решения существуют.

Следовательно, на луче  решений данной системы уравнений нет. Решения следует искать при .

2. Построим графики данных функций:  – гипербола;  – парабола (см. Рис. 8).

 Рис. 8. Иллюстрация к задаче

3. Видно, что графики данных функция пересекаются в точке  (при функция  возрастает, а функция убывает, значит, решение единственное).

4. Можно проверить найденное значение, подставив его в систему уравнений:

 

; :

 – верно.

Ответ: .

 

Задача 7

 

 

Дано:

 

Требуется:

1. Построить график функции.

2. Найти: ; ; ; множество значений функции.

3. Найти наибольшее и наименьшее значение функции.

4. Прочесть график.

Решение (ответ)

1. Нарисуем часть параболы  на отрезке  и часть гиперболы  на луче  (см. Рис. 9).

2. Найдем . Так как в этом случае , то подставляем  в уравнение :

 

Найдем . Так как в этом случае , то подставляем  в уравнение :

 

Найдем . Так как в этом случае , то подставляем  в уравнение :

 

Множество значений этой функции – это отрезок .

3. Наибольшее значение функции достигается при , оно равно:

 

Наименьшее значение функции достигается при , оно равно:

 

4. Функция убывает от  до  на промежутке , функция возрастает от  до  на промежутке , функция убывает от  до  на промежутке .

 Рис. 9. Иллюстрация к задаче

 

Список литературы

1. Баш­ма­ков М.И. Ал­геб­ра 8 класс. – М.: Про­све­ще­ние, 2004.
2. До­ро­фе­ев Г.В., Су­во­ро­ва С.Б., Бу­ни­мо­вич Е.А. и др. Ал­геб­ра 8. 5 из­да­ние. М.: Про­све­ще­ние, 2010.
3. Ни­коль­ский С.М., По­та­пов М.А., Ре­шет­ни­ков Н.Н., Шев­кин А.В. Ал­геб­ра 8 класс. Учеб­ник для об­ще­об­ра­зо­ва­тель­ных учре­жде­ний. – М.: Про­све­ще­ние, 2006.
4. Мордкович А.Г. Алгебра 8 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учеб­ник для об­ще­об­ра­зо­ва­тель­ных учре­жде­ний. – М.: Мнемозина, 2010.
5. Мордкович А.Г. Алгебра 8 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для об­ще­об­ра­зо­ва­тель­ных учре­жде­ний. – М.: Мнемозина, 2010.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. School.xvatit.com (Источник).
2. Urokimatematiki.ru (Источник).
3. Youtube (Источник).
4. Matematika-doma.ru (Источник).

 

Домашнее задание

1. Упражнения 18.13 (а, г), 18.15, 18.17 (б, в), 18.27 (стр. 111–113) Мордкович А.Г. Алгебра 8 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник (Источник). 
2. Найдите на оси ординат какую-либо точку  такую, что отрезок , где , имел бы с графиком функции  две общие точки.
3. Решите систему уравнений: