Математика

Тема 6: Квадратные корни

Урок 3: Три случая существования корней квадратного уравнения

  • Видео
  • Тренажер
  • Теория
Заметили ошибку?

Уравнение x2

Рассмотрим уравнение x2=a, где a - переменная величина, вместо которой можно подставить нужное числовое значение и получить нужное уравнение. Эта переменная а называется параметром.

Под определением "уравнение с параметром" скрывается целая группа очень похожих уравнений, которые отличаются друг от друга только одним числом (одним слагаемым или одним коэффициентом) и решаются одинаково. Параметр – это число, которое меняется от уравнения к уравнению.
Формулу, которую мы получили для корня уравнения мы можем запрограммировать на компьютере. Достаточно будет только ввести значение параметра a, чтобы получить решение любого такого уравнения.

Существует три случая решения уравнения x2=a, в зависимости от значения, которое принимает число а.

Рассмотрим каждый из случаев в отдельности.

x2=a при a<0

Так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным числом, уравнение x2=a при a<0 корней не имеет.

x2=a при a=0

В данном случае уравнение имеет один корень. Этим корнем является число 0. Так как уравнение можно переписать в виде х·х = 0, то еще иногда говорят, что данное уравнение имеет два корня, которые равны между собой и равны 0.

x2=a при a>0

Решается оно следующим образом. Сначала переносим а в левую часть:

x2-a=0.

Из определения квадратного корня следует, что a можно записать в следующем виде: a=(a)2. Тогда уравнение можно переписать следующим образом:

x2-a2=0.

В левой части видим формулу разности квадратов, применим её.

x+ax-a=0.

Произведение двух скобок равно нулю, если хотя бы одна из них равна нулю. Следовательно, x+a=0 или x-a=0.

Отсюда x=-a или x=a.

Данное решение можно проверить, построив график.

Для примера сделаем это для уравнения x2 = 4. Для этого необходимо построить два графика: y = x2 и y = 4, и посмотреть координаты х их точек пересечения. Корни должны получиться 2 и -2. Что и получилось на рисунке.

 

 

 

Уравнение х2 = 49 имеет корни х1 = -49 и х2 = 49, т.е. х1 = -7, х2 = 7.

Уравнение х2 = 6,25 имеет корни х1 = - 6,25, х2 = 6,25, т.е. х1 = -2,5, х2 = 2,5.

Уравнение х2 = 49 имеет корни х1 =-23, х2 = 23.

Уравнение х2 = 2 имеет корни х1 = -2, х2 = 2. Эти корни являются иррациональными числами, так как не существует рационального числа, квадрат которого равен 2. С помощью графика функции у = х2 легко найти приближенные значения этих корней 2 ≈ 1,4 и -2 ≈ -1,4. Уравнения х2 = 3, х2 = 5, х2 = 6,5 имеют соответственно корни -3 и 3, -5 и 5, - 6,5 и 6,5. Эти корни также являются иррациональными числами.

Вообще, при любом а>0 уравнение х2 = а имеет неотрицательный корень а; иными словами, какое бы число а≥0 мы ни взяли, найдется неотрицательное число, квадрат которого равен а. Это означает, что выражение а имеет смысл при любом а≥0.