Математика
Тема 6: Квадратные корниУрок 3: Три случая существования корней квадратного уравнения
- Видео
- Тренажер
- Теория
Уравнение x2=а
Рассмотрим уравнение x2=a, где a - переменная величина, вместо которой можно подставить нужное числовое значение и получить нужное уравнение. Эта переменная а называется параметром.
Под определением "уравнение с параметром" скрывается целая группа очень похожих уравнений, которые отличаются друг от друга только одним числом (одним слагаемым или одним коэффициентом) и решаются одинаково. Параметр – это число, которое меняется от уравнения к уравнению.
Формулу, которую мы получили для корня уравнения мы можем запрограммировать на компьютере. Достаточно будет только ввести значение параметра a, чтобы получить решение любого такого уравнения.
Существует три случая решения уравнения x2=a, в зависимости от значения, которое принимает число а.
Рассмотрим каждый из случаев в отдельности.
x2=a при a<0
Так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным числом, уравнение x2=a при a<0 корней не имеет.
x2=a при a=0
В данном случае уравнение имеет один корень. Этим корнем является число 0. Так как уравнение можно переписать в виде х·х = 0, то еще иногда говорят, что данное уравнение имеет два корня, которые равны между собой и равны 0.
x2=a при a>0
Решается оно следующим образом. Сначала переносим а в левую часть:
.
Из определения квадратного корня следует, что a можно записать в следующем виде: . Тогда уравнение можно переписать следующим образом:
.
В левой части видим формулу разности квадратов, применим её.
.
Произведение двух скобок равно нулю, если хотя бы одна из них равна нулю. Следовательно, или .
Отсюда или .
Данное решение можно проверить, построив график.
Для примера сделаем это для уравнения x2 = 4. Для этого необходимо построить два графика: y = x2 и y = 4, и посмотреть координаты х их точек пересечения. Корни должны получиться 2 и -2. Что и получилось на рисунке.
Уравнение х2 = 49 имеет корни х1 = и х2 = , т.е. х1 = -7, х2 = 7.
Уравнение х2 = 6,25 имеет корни х1 = , х2 = , т.е. х1 = -2,5, х2 = 2,5.
Уравнение х2 = имеет корни х1 =, х2 = .
Уравнение х2 = 2 имеет корни х1 = , х2 = . Эти корни являются иррациональными числами, так как не существует рационального числа, квадрат которого равен 2. С помощью графика функции у = х2 легко найти приближенные значения этих корней ≈ 1,4 и ≈ -1,4. Уравнения х2 = 3, х2 = 5, х2 = 6,5 имеют соответственно корни и , и , и . Эти корни также являются иррациональными числами.
Вообще, при любом а>0 уравнение х2 = а имеет неотрицательный корень ; иными словами, какое бы число а≥0 мы ни взяли, найдется неотрицательное число, квадрат которого равен а. Это означает, что выражение имеет смысл при любом а≥0.