Математика

 

 

Тема: Квадратные уравнения.

 

Урок: Квадратные уравнения. Основные понятия

 

1. Определение квадратного уравнения

 

 

Определение. Квадратным уравнением называется уравнение вида

 

.

 фиксированные действительные числа, которые задают квадратное уравнение. Эти числа имеют определенные названия:

 старший коэффициент (множитель при );

 второй коэффициент (множитель при );

 свободный член (число без множителя-переменной).

Замечание. Следует понимать, что указанная последовательность записи слагаемых в квадратном уравнении является стандартной, но не обязательной, и в случае их перестановки необходимо уметь определять численные коэффициенты не по их порядковому расположению, а по принадлежности к переменным.

Определение. Выражение  носит название квадратный трехчлен.

Пример 1. Задано квадратное уравнение . Его коэффициенты:

 старший коэффициент;

 второй коэффициент (обратите внимание, что коэффициент указывается со знаком передним);

 свободный член.

 

2. Приведенные квадратные уравнения

 

 

Определение. Если , то квадратное уравнение называется неприведенным, а если , то квадратное уравнение называется приведенным.

 

Пример 2. Привести квадратное уравнение . Разделим обе его части на 2:  .

Замечание. Как видно из предыдущего примера, делением на старший коэффициент мы не изменили уравнение, но изменили его форму (сделали приведенным), аналогично его можно было и умножить на какое-нибудь ненулевое число. Таким образом, квадратное уравнение задается не единственной тройкой чисел, а говорят, что задается с точностью до ненулевого множества коэффициентов.

Определение. Приведенное квадратное уравнение получают из неприведенного путем деления на старший коэффициент , и оно имеет вид:

.

Приняты следующие обозначения: . Тогда приведенное квадратное уравнение имеет вид:

.

Замечание. В приведенной форме квадратного уравнения видно, что квадратное уравнение можно задать всего двумя числами: .

Пример 2 (продолжение). Укажем коэффициенты, которые задают приведенное квадратное уравнение . , . Эти коэффициенты также указываются с учетом знака. Эти же два числа задают и соответствующее неприведенное квадратное уравнение .

Замечание. Соответствующие неприведенное и приведенное квадратные уравнения являются одинаковыми, т.е. имеют одинаковые наборы корней.

 

3. Неполные квадратные уравнения

 

 

Определение. Некоторые из коэффициентов  в неприведенной форме или  в приведенной форме квадратного уравнения могут равняться нулю. В таком случае квадратное уравнение называют неполным. Если же все коэффициенты ненулевые, то квадратное уравнение называют полным.

 

Существует несколько видов неполного квадратного уравнения.

1) .

Если решение полного квадратного уравнения мы пока не рассматривали, то решить неполное мы легко сможем уже известными нам методами.

Определение. Решить квадратное уравнение – значит найти все значения переменной  (корни уравнения), при которых данное уравнение обращается в верное числовое равенство, или установить, что таких значений нет.

Пример 3. Рассмотрим пример указанного вида неполных квадратных уравнений. Решить уравнение .

Решение. Вынесем общий множитель . Уравнения такого типа мы умеем решать по следующему принципу: произведение равно нулю тогда и только тогда, когда один из множителей равен нулю, а другой при этом значении переменной существует. Таким образом:

 или .

Ответ.; .

2) .

Пример 4. Решить уравнение .

Решение. 1 способ. Разложим на множители по формуле разности квадратов

, следовательно, аналогично предыдущему примеру  или .

2 способ. Перенесем свободный член вправо  и извлечем квадратный корень из обеих частей .

Ответ. .

Пример 5. Решить уравнение .

Решение. Перенесем свободный член вправо , но , т.е. в уравнении неотрицательное число приравнивается к отрицательному, что не имеет смысла ни при каких значениях переменной, следовательно, корней нет.

Ответ. Корней нет.

3) .

Пример 6.Решить уравнение .

Решение. Разделим обе части уравнения на 7: .

Ответ. 0.

 

4. Задачи, которые сводятся к квадратным уравнениям

 

 

Рассмотрим примеры, в которых сначала необходимо привести квадратное уравнение к стандартной форме, а затем уже его решать.

 

Пример 7. Решить уравнение .

Решение. Для приведения квадратного уравнения к стандартной форме необходимо перенести все слагаемые в одну сторону, например, в левую и привести подобные.

.

Получено неполное квадратное уравнение, которое мы уже умеем решать, получаем, что  или .

Ответ. .

Пример 8 (текстовая задача). Произведение двух последовательных натуральных чисел в два раза больше квадрата меньшего из них. Найдите эти числа.

Решение. Текстовые задачи, как правило, решаются по следующему алгоритму.

1) Составление математической модели. На этом этапе необходимо перевести текст задачи на язык математических символов (составить уравнение).

Пусть некое первое натуральное число обозначим неизвестной , тогда следующее за ним (числа последовательные) будет . Меньшее из этих чисел – это число , запишем уравнение по условию задачи:

, где . Математическая модель составлена.

2) Работа с математической моделью. На этом этапе полученное уравнение необходимо решить.

Раскроем скобки , обычно, для удобства расчетов принято приводить квадратное уравнение к положительному старшему коэффициенту, что мы и сделаем домножением обеих частей уравнения на : .

Получаем корни  и .

Поскольку корень  не является натуральным, то подходит только один ответ . Это меньшее число, а большее равно 2.

Ответ. 1; 2.

На следующем уроке мы выведем формулы вычисления корней квадратного уравнения.

 

Список рекомендованной литературы

1. Башмаков М.И. Алгебра 8 класс. М.: Просвещение. 2004 г.

2. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. 5 издание. М.: Просвещение. 2010 г.

3. Никольский С.М., Потапов М.А., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. М.: Просвещение. 2006 г.

 

Рекомендованные ссылки на ресурсы интернет

1. ЕГЭ по математике (Источник).

2. Как просто сделать все (Источник).

3. Кирилюк Римма Станиславовна (Источник).

 

Рекомендованное домашнее задание

1. № 423, 425, 426, 490, 492, 504, 511. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. 5 издание. М.: Просвещение. 2010 г.

2. Преобразуйте уравнения к виду  и укажите старший коэффициент, второй коэффициент и свободный член: а) ; б) .

3. Выполните преобразования квадратных уравнений, чтобы они стали приведенными: а) ; б) .

4. Решите уравнения: а) ; б) ; в) .

5. Если от квадрата отрезать треугольник с площадью 59 см², то площадь оставшейся части будет равна 85 см². Найдите сторону квадрата.