Математика

Метод выделения полного квадрата на примере решения квадратного уравнения

 

Напомним, что квадратным уравнением называется уравнение вида:

 

, причем .

На прошлом уроке мы рассмотрели неполные квадратные уравнения и методы их решения. Сейчас мы поговорим о полных квадратных уравнениях, то есть уравнениях, в которых ни один из коэффициентов не равен 0 ().

Основной метод, который используется для выведения формул корней квадратных уравнений, – метод выделения полного квадрата. Мы уже изучали его в 7 классе, однако необходимо вспомнить его более подробно.

Рассмотрим несколько конкретных примеров квадратных уравнений, которые мы решим с помощью использования этого метода.

Пример 1

Решить квадратное уравнение: .

Решение:

Коэффициенты данного квадратного уравнения: .

Для применения метода выделения полного квадрата воспользуемся следующей формулой: .

Метод выделения полного квадрата для данного примера состоит в том, чтобы подобрать число  так, чтобы . Значит, .

Получаем:

Данное уравнение можно решать двумя способами.

Способ 1

. Отсюда или: , или: .

Ответ:.

Способ 2

. Произведение равно 0 тогда и только тогда, когда хотя бы один из его множителей равен 0. Поэтому данное уравнение эквивалентно двум:  и: .

Ответ:.

 

Более сложный случай использования метода выделения полного квадрата

 

 

Мы рассмотрели метод выделения полного квадрата на частном примере. Давайте рассмотрим еще один, чуть более сложный пример, в котором старший коэффициент не будет равняться 1.

 

Пример 2

Решить квадратное уравнение: .

Решение:

Коэффициенты данного квадратного уравнения: .

Прежде чем выделять полный квадрат, вынесем 2 за скобки в первых двух слагаемых: .

Теперь в скобках выделим полный квадрат. Опять же, необходимо подобрать  так, чтобы: .

Получаем следующее уравнение:

.

Отсюда:

.

Отсюда:  или .

Ответ: .

 

Вывод формулы корней квадратного уравнения

 

 

 Разобрав конкретные примеры, можем перейти к получению общей формулы корней квадратного уравнения.

 

Итак, рассмотрим уравнение . Вынесем старший коэффициент за скобки в первых двух слагаемых: . Теперь выделим в скобочках полный квадрат: .

Далее: .

Теперь поделим обе части уравнения на , так как знаем, что в квадратном уравнении : .

Выражение  называется дискриминантом квадратного уравнения и обозначается буквой .

Пока мы будем считать, что в нашем уравнении , то есть из него можно извлечь корень.

Тогда получаем: . Или:

.

Это и есть формула для корней квадратного уравнения в общем виде.

Если расписать ее, то можно получить две формулы для каждого из корней:

Если теперь мы вернемся к нашим примерам, то в уравнении  дискриминант равен: . Тогда:

 

Применение полученных формул, выводы

 

 

На этом уроке мы вспомнили метод выделения полного квадрата, разобрали решение конкретных квадратных уравнений с помощью этого метода. Кроме того, мы вывели формулу корней квадратного уравнения и узнали, что такое дискриминант.

 

На следующем уроке мы рассмотрим применение формул корней квадратных уравнений.

 

Список литературы

1. Башмаков М.И. Алгебра, 8 класс. – М.: Просвещение, 2004.
2. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра, 8. 5-е изд. – М.: Просвещение, 2010.
3. Никольский С.М., Потапов М.А., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра, 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2006.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Фестиваль педагогических идей "Открытый урок" (Источник).
2. Прикладная математика (Источник).
3. Bymath.net (Источник).

 

Домашнее задание

1. № 427-429, Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра, 8. 5-е изд. – М.: Просвещение. 2010 г.
2. Решите уравнения: а) , б) , в), г) .
3. Решите уравнения: а) , б) , в) .