Математика

Повторение формул корней квадратного уравнения

 

Рассматриваем квадратное уравнение . Вспомним, что на прошлом уроке методом выделения полного квадрата мы определили, что  (*), из чего следовала формула корней квадратного уравнения:

 

 или ,

где  дискриминант квадратного уравнения.

            Для корректного применения этих формул необходимо проанализировать знак дискриминанта. Поскольку в выражении, обозначенном (*), левая часть является полным квадратом, то она всегда неотрицательна , то же самое относится и к знаменателю правой части , то по знаку дискриминанта можно сделать некоторые выводы.

 

Количество корней квадратного уравнения

 

 

1. Если  , то корней нет.

 

Пример 1. Решите уравнение .

Решение.Выпишем коэффициенты этого квадратного уравнения  и вычислим его дискриминант . Следовательно, корней у этого уравнения нет.

Ответ. Корней нет.

2. Если  , то уравнение имеет один корень , т.к. из (*) следует, что .

Замечание. Если говорить строго, что при  квадратное уравнение имеет два одинаковых корня, на что в школьном курсе часто не обращают внимания.

Пример 2.Решите уравнение .

Решение. Выпишем коэффициенты этого квадратного уравнения  и вычислим его дискриминант . Следовательно, корень квадратного уравнения .

Ответ. 2,5.

Замечание. Если дискриминант квадратного уравнения нулевой, то соответствующий квадратный трехчлен можно разложить по формуле полного квадрата. Рассмотрим это на предыдущем примере.

 

Тогда . Получили тот же ответ. Продемонстрированный способ является одним из возможных вариантов решения, если вы сразу заметили возможность сворачивания выражения в полный квадрат.

3. Если , то уравнение имеет два различных корня .

Пример 3. Решить уравнение .

Решение. Выпишем коэффициенты квадратного уравнения . Вычислим дискриминант , следовательно, есть два различных корня.

, т.е. .

Ответ..

 

Примеры с иррациональностью

 

 

Теперь рассмотрим различные примеры.

 

Пример 4. Решить уравнение .

Решение. Выпишем коэффициенты квадратного уравнения  и вычислим дискриминант , таким образом, у уравнения два различных корня. В отличие от предыдущего рассмотренного случая, дискриминант не является полным квадратом, поэтому записываем его в формулу корней под корнем.

 , т.е. .

Ответ..

Данный пример примечателен тем, что коэффициенты квадратного уравнения и его корни содержат иррациональность, однако это не должно смущать, т.к. формула для решения универсальна для всех действительных чисел.

Пример 5. Решить уравнение .

Решение. Уравнение сначала может показаться очень нестандартным, т.к. в нем присутствует корень из переменной, однако следует обратить внимание, что он в квадрате, а это позволяет упростить выражение:

 при , ограничение вызвано областью определения квадратного корня. Запишем теперь уравнение в упрошенной форме с полученным ограничением (ОДЗ):

. Корни выписали из решения в предыдущем уроке, т.к. это уравнение уже рассматривалось. В данном случае обратим внимание на то, что полученное в ходе решения ограничение влияет на подходящие корни уравнения – корень  не подходит, т.к. , что не удовлетворяет условию. Остается один корень уравнения .

Ответ..

На следующем уроке мы рассмотрим алгоритм решения рациональных уравнений.

 

Список литературы

1. Башмаков М.И. Алгебра, 8 класс. – М.: Просвещение, 2004.
2. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра, 8. 5-е изд. – М.: Просвещение, 2010.
3. Никольский С.М., Потапов М.А., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра, 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2006.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. School.xvatit.com (Источник).
2. Ido.rudn.ru (Источник).
3. Planetcalc.ru (Источник).

 

Домашнее задание

1. № 442, 443. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра, 8. 5-е изд. – М.: Просвещение, 2010.
2. При каких значениях параметра  имеет один корень уравнение ?
3. Решите уравнение: .
4. ^*Решите уравнение: .