Математика

 Площадь параллелограмма.

Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны параллельны.

 

 

Если AD – основание, тогда перпендикуляр BH называется высотой параллелограмма.

Перпендикуляр можно опустить из любой точки прямой BC, например, перпендикуляр из точки C – это CK. Длины высот равны по свойству параллелограмма BCKH (у этого четырехугольника противоположные стороны попарно параллельны, значит, он параллелограмм, а значит, BH=CK).

Сформулируем теорему о нахождении площади параллелограмма.

Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту.

S = AD·BH.

Проведем доказательство этой теоремы.

Треугольники АВН и DCK равны, так как: 1) они прямоугольные, 2) они имеют равные гипотенузы: АВ = DC по свойству параллелограмма, 3) их острые углы равны: ∠ВАН = 180°-∠CDA = ∠СDK.

Площади параллелограмма АВСD и прямоугольника НВСК равны, так как они состоят из суммы общего четырехугольника HBCD и равных треугольников.

Площадь прямоугольника HBCK равна произведению длины на ширину: S = BC·BH = AD·BH.

Следовательно, площадь параллелограмма ABCD также равна AD·BH, что и требовалось доказать.

Итак, площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту, проведенную к этой стороне.

Если за основание взять другую сторону параллелограмма, а именно сторону АВ, перпендикуляр DK будет высотой параллелограмма, проведенной к основанию.

 

 

Тогда формула площади запишется так: S = DK·AB.

Рассмотрим задачу.

Дано: ABCD – параллелограмм, ВК – высота, ∠А = 30°, АВ = 6 см, ВС = 8 см. Найти площадь.

 

 

Решение: по свойствам параллелограмма сторона ВС = AD = 8 см.

Треугольник АВК прямоугольный, ∠А = 30° по условию, по свойству прямоугольного треугольника ВК = АВ:2 = 6:2 = 3 см.

Найдем площадь: S = ВК·AD = 3·8 = 24 см²

Ответ: 24 см²