Математика

Тема 15: Площадь. Профильный уровень

Урок 2: Площадь квадрата. Площадь прямоугольника

Видео
Тренажер
Теория

Заметили ошибку?

Эталон площади

Напомним, эталоном длины является отрезок длиной в 1 мм, 1 см, 1 км и т. д.

А что такое эталон площади? Это квадрат, сторона которого равна: 1 мм, 1 см, 1 м и т. д. Такой эталон длины называется квадратным миллиметром, квадратным сантиметром, квадратным метром, квадратным километром.

Обозначение: , и т. д.

Площадь геометрической фигуры – это положительное число, которое показывает, во сколько раз эталон площади уместился в данной фигуре. Таким образом площадь – это результат сравнения с эталоном площади.

Свойства площади

Предположим, что мы имеем квадрат со стороной . Чему равна площадь такой геометрической фигуры? (См. Рис. 1.)

Рис. 1. Квадрат со стороной

Площадь такой геометрической фигуры равняется квадрату ее стороны: .

Такое свойство площади мы принимаем без доказательств. Однако поясним его.

Пусть выбран эталон длины 1 мм. Это означает, что на стороне квадрата укладывается штук таких эталонов длины, при этом число может быть любым положительным числом.

Свойство утверждает, что в квадрате со стороной уложится штук эталонов длины. В нашем случае эталон длины – . По-иному, площадь квадрата равна . Интересно заметить, что если – иррациональное число (например ), то площадь – натуральное число.

Итак, мы знаем свойство площади, что площадь квадрата со стороной равна .

Рассмотрим другие свойства площади.

Равные многоугольники имеют равные площади.

Предположим, треугольник равен треугольнику , тогда площадь первого треугольника равняется площади второго треугольника (см. Рис. 2).

Рис. 2. Равные треугольники

Следующее свойство площади.

Пусть многоугольник разрезан линиями, т. е. составлен из других многоугольников, таким образом, что общими у этих многоугольников являются только точки сторон, тогда площадь составного многоугольника равна сумме площадей составляющих его многоугольников (см. Рис. 3).

Рис. 3. Разрезанный треугольник

Итак, мы повторили три важных свойства площади. Они используются при выводе формул для площади.

Площадь прямоугольника

Теорема о площади прямоугольника:

Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон.

Доказательство: (см. Рис. 4).

Рис. 4. Иллюстрация к доказательству теоремы о площади прямоугольника

Рассмотрим квадрат со стороной .

Его площадь с одной стороны равна .

Разрежем этот квадрат двумя линиями и получим два квадрата (со стороной и соответственно), а также два прямоугольника со сторонами , .

Площадь квадрата со стороной – .
Площадь квадрата со стороной – .
Площадь прямоугольника со сторонами , – искомая площадь .

Таким образом, имеем:

Получили уравнение для . Решим его.

Что и требовалось доказать.

Итак, если имеем прямоугольник со сторонами и , то его площадь равна .

В доказанной теореме используются три величины: ; ; . Если мы зададим две из них, то получим третью.

Задачи

a) Найти , если ; .

Решение

Ответ: .

b) Найти сторону , если площадь прямоугольника равна , а сторона равна 4 м.

Решение

Ответ: 8 м.

c) Найти сторону , если площадь равна , и .

Решение:

, так как это квадрат.

Ответ: .

d) Квадрат с неизвестной стороной равновелик прямоугольнику со сторонами 18 и 8. Найти сторону квадрата.

Решение

Равновеликие фигуры – фигуры с равными площадями.

Ответ: 12 см.

e) Теплица имеет форму прямоугольника, одну сторону увеличили в полтора раза, вторую – в два раза. Во сколько раз увеличилась площадь теплицы?

Решение

Пусть и – стороны исходного прямоугольника. После увеличения стороны стали и соответственно.

– площадь исходного прямоугольника.

– площадь полученного прямоугольника.

Ответ: в 3 раза.

f) В прямоугольнике сторону , равную пяти метрам, увеличили на 20 %, сторону , равную десяти метрам, уменьшили на 20 %. Найдите длины сторон получившегося прямоугольника и сравните их площади.

Решение

Сперва найдем стороны нового прямоугольника. Сказано, что длина первой стороны увеличилась на 20 %.

5 м – 100 %

м – 120 %

Таким же образом найдем вторую сторону:

10 м – 100 %

м – 80 %

Итак, стороны известны, найдем площади.

Значит, исходная площадь уменьшилась на .

Ответ: 6 м; 8 м; площадь уменьшилась на .

g) Решим аналогичную задачу в общем виде.

Одну сторону прямоугольника увеличили на 20 %, а вторую уменьшили на 20 %, изменилась ли площадь прямоугольника? Если да, то на сколько?

Решение

Обозначим длины сторон исходного прямоугольника и .

и – длины сторон получившегося прямоугольника.

Значит, площадь нового прямоугольника уменьшается на 4 %.

Ответ: а) изменилась; б) уменьшилась на 4 %.

Интересно заметить, что обе стороны изменились на 20 %, но площадь уменьшилась на 4 %.

Заключение

Итак, мы рассмотрели площадь прямоугольника и площадь квадрата, вспомнили свойства площадей. По одному из свойств площадь квадрата со стороной равна . Пользуясь свойствами площадей, мы доказали теорему: площадь прямоугольника со сторонами и равна . Мы доказали эту теорему и решили типовые задачи на нее.

Доказательство формулы площади квадрата

Дано: квадрат со стороной .

Доказать: .

Доказательство

Число может быть любым.

Первый случай

Пусть , где . Возьмем квадрат со стороной 1 – это эталон. Разобьем его на равных квадратов и по свойству площадей имеем: – это площадь эталона, с другой стороны, она равна , где – площадь искомого квадрата со стороной (см. Рис. 5). Отсюда получаем искомую площадь :.

Рис. 5. Иллюстрация к доказательству теоремы о площади квадрата (первый случай)

Что и требовалось доказать.

Примечание

В эталоне каждая из смежных сторон имеет длину 1. Она разбита на частей, и тогда квадрат разбит на одинаковых частей, т. е. квадратов с искомой площадью . Искомую площадь квадрата со стороной сравнили с эталоном, площадью квадрата со стороной 1, например 1 м, т. е. квадратным метром, и получили, что искомая площадь равна . Что и требовалось доказать в первом случае.

Второй случай (см. Рис. 6)

Рис. 6. Иллюстрация к доказательству теоремы о площади квадрата (второй случай)

Пусть – конечная десятичная дробь с знаками после запятой.

Тогда , , то есть это натуральное число. Каждую из сторон квадрата со стороной разобьем на равных частей:

Квадрат с искомой площадью , разобьется на равных квадратов со стороной и площадью . Тогда искомая площадь равна:

Что и требовалось доказать.

Пояснение на конкретных числах: (см. Рис. 7)

Рис. 7. Иллюстрация к пояснению

Пусть ;

Сторону, равную 2,14 искомого квадрата, разделили на 214 равных частей.

Отношение стороны к :

Это сторона малого квадрата, а таких квадратов штук.

Тогда , а площадь равна .

Подставляем: .

Что и требовалось доказать.

Третий случай

Пусть – бесконечная десятичная дробь. К такому числу можно приближаться меньшими рациональными числами. Например: ; ; ;…; , т. е. мы отбрасываем все знаки, начиная с .