Математика

Различные формулы площади треугольника

 

Площадь – одна из важных характеристик фигуры на плоскости. Можно сказать так: чем больше краски нужно для того, чтобы покрасить фигуру, тем больше ее площадь (см. рис. 1).

 

Рис. 1. Чем больше краски нужно для того, чтобы покрасить фигуру, тем больше ее площадь

Любое измерение – это сравнение с эталоном. Для площади в качестве эталона выбрали площадь квадрата со стороной  (она равна  кв. ед.) (см. рис. 2). Поэтому раньше вычисление площади называлось квадратурой.

Рис. 2. Площадь квадрата со стороной  м равна

Понятно, что вычислять площадь, каждый раз разбивая фигуру на квадраты, неудобно (да и не всегда возможно). Поэтому для различных типов фигур были выведены формулы для вычисления площади (см. рис. 3).

Рис. 3. Для различных типов фигур выведены формулы для вычисления площади

Поскольку треугольник – базовая и одна из самых важных фигур, то для него было получено сразу несколько различных формул. Их основное отличие – элементы треугольника, которые в них используются.

Так, помимо «классической» формулы – через высоту и основание (см. рис. 4):

Рис. 4. Произвольный треугольник со сторонами  и высотой , проведенной к стороне

на этом уроке мы будем рассматривать:

1.                  вычисление площади треугольника по двум сторонам и углу между ними (см. рис. 5):

Рис. 5. Произвольный треугольник со сторонами  и углом , лежащим между сторонами  и

2.                  по трем сторонам – формула Герона (см. рис. 6):

где  – полупериметр:

Рис. 6. Произвольный треугольник со сторонами

3.         с использованием радиуса  описанной окружности (см. рис. 7):

Рис. 7. Окружность радиуса  описана около произвольного треугольника со сторонами  

4.         с использованием радиуса  вписанной окружности (см. рис. 8):

где  – полупериметр:

Рис. 8. Произвольный треугольник со сторонами  описан около окружности радиуса

---

 

Единицы измерения

Обратите внимание, что в большинстве задач, с которыми вы будете сталкиваться на уроках математики, длины отрезков, площади фигур и т. д. будут даваться без единиц измерения, например: длины сторон треугольника равны . Обычно подразумевают «условные единицы». Но что это значит? Можно дать эквивалентную формулировку: длины стороны треугольника равны ,  и , где  – это сколько-то сантиметров (метров, километров, ярдов, …) (см. рис. 9).

Рис. 9. Прямоугольный треугольник со сторонами ,  и , где  – единица измерения (см, м, км, ярды и т. д.)

Тогда любая длина в рамках данной задачи будет пропорциональна этой условной единице . Например, высота такого треугольника, проведенная к гипотенузе, будет равна  усл. ед., или  см (м, км, …) (см. рис. 10).

Рис. 10. Прямоугольный треугольник со сторонами ,  и  и высотой  см (м, км, …), проведенной к гипотенузе

Таким образом, решив задачу для условных единиц, мы можем использовать решение для любых единиц измерения, используя нужный нам . То же касается и площади  – у данного треугольника она будет равна  кв. ед., или   (, , …).

При этом надо помнить: если в условии все же указаны единицы измерения (например, все длины даны в сантиметрах), то, во-первых, надо следить, чтобы все величины при вычислениях были с одинаковыми единицами измерения (чтобы не умножить метры на сантиметры), а во-вторых, не забывать указывать получившиеся единицы для найденных величин.

---

 

 

Формула площади произвольного треугольника

 

 

Начнем изучение формул для вычисления площади треугольника с той, которую мы вывели самой первой:

 

Пожалуй, это наиболее часто используемая формула.

Вспомним, как мы вывели эту формулу. Вспомним, что площадь прямоугольника со сторонами  и  равна (см. рис. 11):

Рис. 11. Прямоугольник со сторонами  и

Проведем диагональ, получим два прямоугольных треугольника. Они равны: катеты равны, как противоположные стороны прямоугольника (см. рис. 12). Значит, их площади одинаковы.

Рис. 12. Если провести диагональ в прямоугольнике, то получится два равных прямоугольных треугольника

Получаем, что площадь прямоугольного треугольника с катетами  и  равна:

Для произвольного треугольника можно рассмотреть два случая. Если высота проведена из вершины острого угла (см. рис. 13), то треугольник делится на два прямоугольных, для каждого из которых верна формула площади:

Рис. 13. Произвольный остроугольный треугольник, где проведенная к стороне  высота  делит  на отрезки, равные  и

Если же высота проведена из вершины тупого угла, то она проходит вне треугольника (см. рис. 14). Тогда площадь исходного треугольника не сумма, а разность площадей двух прямоугольных:

Рис. 14. Произвольный тупоугольный треугольник, где проведенная к стороне  высота  проходит вне треугольника

Итак, площадь произвольного треугольника можно вычислить по формуле (см. рис. 15):

где  – длина любой из сторон треугольника, а  – длина высоты, проведенной к этой стороне.

Рис. 15. Произвольный треугольник с высотой , проведенной к стороне

Что нам дает эта формула?

1.                  С ее помощью можно вычислить площадь треугольника, зная длины стороны и высоты, которая к ней проведена. Например, сторона равна , высота . Площадь треугольника равна :

2.                  Два треугольника с одинаковыми основаниями и высотой имеют равные площади.

Возьмем два параллельных рельса, расстояние между которыми равно . На одном рельсе отметим отрезок длиной . На втором рельсе возьмем точку и соединим с концами отрезка. Получим треугольник (см. рис. 16). Высота его равна расстоянию между рельсами, т. е. , а основание равно . Площадь равна .

Рис. 16. На одном из параллельных рельсов, расстояние между которыми равно , отметили отрезок длиной , а на втором – взяли точку и соединили с концами отрезка

Начнем двигать точку по верхнему рельсу (см. рис. 17). Треугольник начинает растягиваться и менять форму. Но длины основания и высоты у него не меняются. Следовательно, не меняется и площадь.

Рис. 17. При движении точки по верхнему рельсу треугольник измененной формы имеет ту же площадь, т. к. длины основания и высоты остаются теми же

Этот факт мы использовали, когда доказывали, что медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника. Действительно, у этих треугольников общая высота, а основания равны, так как основание медианы – середина стороны (см. рис. 18).

Рис. 18. Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника

3.                  Использовать эту формулу можно для вычисления длин сторон или высот, даже если вычислять площадь и не требуется.

 

Пример 1. В треугольнике сторона , сторона , высота . Найти высоту  (см. рис. 19).

Рис. 19. Иллюстрация к примеру 1

Решение.

Приравняем площади треугольника, вычисленные для сторон  и :

Выразим :

Ответ: .

Фактически мы здесь можем использовать не формулу для вычисления площади треугольника, а следствие из нее:

где  – высоты, проведенные к соответствующим сторонам.

 

Пример 2. В треугольнике длины сторон равны: , , . Найти высоту, проведенную к большей стороне  (см. рис. 20).

Рис. 20. Иллюстрация к примеру 2

Решение.

Заметим, что это египетский треугольник. Его стороны подчиняются соотношению:

Следовательно, по обратной теореме Пифагора, он прямоугольный (см. рис. 21). Большая сторона является гипотенузой.

Рис. 21. Иллюстрация к примеру 2

С одной стороны, площадь прямоугольного треугольника можно найти как полупроизведение катетов:

С другой – как полупроизведение гипотенузы на высоту, проведенную из прямого угла:

Приравнивая, получаем:

Ответ: .

 

Формула площади равностороннего треугольника

 

 

Используем формулу  для выведения формулы площади правильного треугольника. Поскольку правильный треугольник задается одним элементом – длиной своей стороны, то логично, что и его площадь должна выражаться через сторону.

 

Опустим высоту  (она является биссектрисой и медианой) (см. рис. 22).

Рис. 22. Равносторонний треугольник  со стороной  и высотой , являющейся и биссектрисой, и медианой

Тогда:

Используем теорему Пифагора для треугольника  (см. рис. 23).

Рис. 23. Рассматриваемый прямоугольный треугольник

Получаем:

Откуда:

Тогда площадь равностороннего треугольника равна:

Эта формула может встречаться довольно часто, но запоминать ее необязательно – при необходимости ее всегда можно вывести.

 

Площадь треугольника через две стороны и угол между ними

 

 

Высота треугольника нам будет известна далеко не всегда. Гораздо чаще у нас будут возникать задачи, в которых площадь надо найти, зная стороны и углы треугольника.

 

Рассмотрим треугольник со сторонами . Проведем высоту к стороне  (см. рис. 24).

Рис. 24. Произвольный треугольник со сторонами , высотой  и углом  между сторонами  и

Нам известна формула площади:

Рассмотрим левый прямоугольный треугольник (см. рис. 25):

Рис. 25. Рассматриваемый левый прямоугольный треугольник

По определению синуса (отношение противолежащего катета к гипотенузе): 

Откуда:

Тогда:

Обратите внимание, что в полученной формуле длина высоты нам уже не нужна. Теперь, чтобы вычислить площадь треугольника, достаточно знать две любые стороны и угол (синус угла) между ними.

Например, вычислим площадь треугольника со сторонами  и  и углом  между ними. Воспользуемся полученной формулой:

Получаем:

Рассмотрим еще один пример.

 

Пример 3. Площадь равнобедренного треугольника равна , а угол при вершине  (см. рис. 26). Найти его боковые стороны.

Рис. 26. Иллюстрация к примеру 3

Решение.

Раз дана площадь и угол, то имеет смысл попробовать использовать только что полученную формулу (при этом, раз треугольник равнобедренный, то стороны, образующие угол , равны между собой):

Ответ: .

 

Формула площади треугольника через радиус описанной окружности

 

 

Вспомним еще раз формулу площади треугольника через синус угла:

 

Была у нас еще одна формула, где фигурировал синус и длина стороны – это теорема синусов (см. рис. 27):

Рис. 27. Окружность радиуса  описана около произвольного треугольника со сторонами  и углом  между сторонами  и

Можем выразить синус угла через длину стороны и радиус описанной окружности:

Подставим полученное выражение в формулу для площади:

Таким образом, мы получили еще одну формулу площади треугольника. На этот раз через радиус описанной окружности.

На самом деле, полученная формула площади избыточная. Чтобы по этой формуле найти площадь треугольника, нужно знать  элемента: длины всех трех сторон, да еще и радиус описанной окружности. Хотя третий признак равенства треугольников говорит нам, что треугольник однозначно задается тремя своими сторонами, поэтому его площадь мы должны уметь находить по трем сторонам. И такая формула для вычисления площади действительно есть – она называется формулой Герона. К ней мы сейчас перейдем, а пока обсудим, зачем же нужна полученная формула.

Дело в том, что она чаще используется не в таком виде:

а в виде:

т. е. для вычисления радиуса описанной окружности.

Эту формулу удобно применять, если вам известны три стороны треугольника и нужно найти радиус описанной окружности. Можно, конечно, использовать теорему синусов:

Но в этом случае нам потребуется найти синус одного из углов треугольника. Чтобы это сделать, придется выразить косинус из теоремы косинусов:

А затем, используя основное тригонометрическое тождество, найти синус:

Данная же формула позволяет не заниматься поиском углов – достаточно найти площадь треугольника через формулу Герона и подставить все значения в формулу .

---

 

Два способа нахождения радиуса описанной окружности

Пример 1.

Пусть нам дан треугольник со сторонами . Найти радиус описанной окружности.

Решение.

Способ 1 (формула Герона).

Найдем его площадь, используя формулу Герона:

где  – полупериметр треугольника:

Получаем:

Тогда:

Радиус описанной окружности равен:

 

Способ 2 (теоремы синусов и косинусов).

Попробуем теперь найти радиус описанной окружности данного треугольника без использования площади – используя теоремы синусов и косинусов. Найдем один из углов, используя теорему косинусов:

Откуда:

Используем основное тригонометрическое тождество, чтобы найти синус этого угла и воспользоваться теоремой синусов:

Обратите внимание: формально синус мог получиться и со знаком минус, но для углов треугольника синус может принимать только положительные значения.

Откуда:

Ответ: .

Конечно, это дело вкуса, но, кажется, что первый способ нахождения радиус описанной окружности гораздо менее трудоемкий.

---

 

 

Формула Герона

 

 

Итак, чтобы найти площадь треугольника, зная длины его сторон, удобно использовать формулу, которая называется формулой Герона (по фамилии ученого, который включил ее в свой труд «Метрика»):

 

где  – это полупериметр:

Например, если стороны треугольника равны  (см. рис. 28), то его площадь легко вычислить с использованием формулы Герона:

Рис. 28. Треугольник со сторонами

Использование этой теоремы, как вы видели, совсем не сложно. А вот доказательство достаточно длинное. С ним вы можете ознакомиться ниже.

---

 

Доказательство формулы Герона

Доказательство.

Рассмотрим треугольник  со сторонами  (см. рис. 29).

Рис. 29. Произвольный треугольник  со сторонами  и высотой , проведенной к стороне

У нас есть формула для площади треугольника:

Наша задача – выразить  через . Обозначим для краткости (см. рис. 30):

Рис. 30. Обозначения:

Высота  является катетом и в левом, и в правом прямоугольных треугольниках. Используя теорему Пифагора для треугольников  и , получаем:

Или:

Поскольку , то:

Откуда:

Теперь можем выразить из треугольника  высоту  через :

Заметим, что:

Получаем:

Откуда:

Осталось подставить в формулу для площади:

Доказано.

---

Пример 4. В треугольнике стороны равны . Найти радиус описанной окружности (см. рис. 31).

Рис. 31. Иллюстрация к примеру 4

Решение.

Зная три стороны и площадь треугольника, радиус описанной окружности можно найти из формулы:

А площадь, зная длины трех сторон, мы можем найти по формуле Герона:

Получаем:

Ответ: .

 

Формула площади треугольника через радиус вписанной окружности

 

 

Раз есть формула, связывающая площадь треугольника и радиус описанной окружности, должна быть и формула, связывающая площадь треугольника и радиус вписанной окружности.

 

Мы доказали, что в любой треугольник можно вписать окружность. Если соединить центр этой окружности со всеми тремя вершинами, то исходный треугольник разобьется на три новых (мы уже доказывали, что эти три отрезка – части биссектрис соответствующих углов треугольника) (см. рис. 32).

Рис. 32. Отрезки, которые соединяют центр вписанной в треугольник окружности с тремя вершинами, – части биссектрис соответствующих углов треугольника

Во всех этих трех малых треугольниках высоты равны радиусу вписанной окружности.

Рис. 33. В трех полученных треугольниках высоты равны радиусу вписанной окружности

Применяя к каждому треугольнику формулу площади и складывая полученные выражения, имеем:

где  – полупериметр:

Получили новую формулу площади – произведение полупериметра на радиус вписанной окружности:

Отметим несколько важных моментов: во-первых, эту формулу можно обобщить на случай любого описанного многоугольника. Попробуйте провести доказательство, например, для четырехугольника, используя точно такую же схему, как и для треугольника (см. рис. 34).

Рис. 34. В четырехугольник вписана окружность, ее центр соединен отрезками с четырьмя вершинами, а отрезки, в свою очередь, разбивают четырехугольник на четыре малых треугольника, высоты которых равны радиусу вписанной окружности

Во-вторых, в отличие от формулы с радиусом описанной окружности, эту формулу нельзя назвать избыточной. Конечно, чаще всего, чтобы найти полупериметр, нужно знать длины всех сторон треугольника, но формально для применения этой формулы знать длины всех трех сторон треугольника необязательно – достаточно знать именно полупериметр.

Наконец, эту формулу чаще используют именно для нахождения радиуса вписанной окружности (в других формулах он у нас не фигурировал, поэтому для нас это будет единственный способ):

Например, зная три стороны треугольника и используя формулу Герона для нахождения площади, несложно найти радиус вписанной окружности по этой формуле.

Пример 5. В равнобедренном треугольнике основание равно , а боковая сторона – . Найти радиус вписанной окружности.

Рис 35. Иллюстрация к примеру 5

Решение.

Итак,

Радиус вписанной окружности практически всегда мы будем искать по формуле:

Осталось найти площадь. В общем случае можно было бы воспользоваться формулой Герона (можете попробовать решить эту задачу таким способом и убедиться, что получится такой же ответ). Мы же «схитрим» и воспользуемся тем, что треугольник равнобедренный и высота, проведенная к основанию, является также биссектрисой и медианой (см. рис. 36).

Рис. 36. Иллюстрация к примеру 5

Поэтому несложно найти ее длину, используя теорему Пифагора:

Откуда:

Тогда площадь треугольника:

Получаем:

Ответ: .

 

Заключение

 

 

В завершение урока давайте посмотрим на все формулы сразу.

 

Первые три формулы используют элементы самого треугольника (стороны, углы, высоты). В частности, формула Герона позволяет нам находить площадь по трем сторонам треугольника. Формула с синусом – по двум сторонам и углу между ними. Если нам известна сторона и два угла, то можно применить теорему синусов, чтобы найти еще одну сторону, а дальше задача сводится к предыдущей – мы знаем уже две стороны и угол между ними. Оставшиеся две формулы мы чаще будем использовать не для нахождения площади треугольника, а для вычисления радиусов вписанной и описанной окружности.

Нужно ли все их запоминать? Конечно, желательно, ведь каждая из них может быть полезна в той или иной задаче, в зависимости от исходных данных. Вместе с тем важно помнить: треугольник почти всегда однозначно задается любыми тремя своими элементами. Поэтому, используя различные свойства треугольника, а также теоремы синусов, косинусов, можно найти недостающие элементы треугольника и применить именно ту формулу, которую вы помните. Так, если вы не уверены в формуле Герона, то, используя теорему косинусов и основное тригонометрическое тождество, можете найти синус одного из углов и воспользоваться формулой с двумя сторонами и синусом угла между ними.

 

Список литературы

Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. Геометрия, 8 класс. Учебник. – М.: «Просвещение», 2018.

Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В./Под ред. Садовничего В.А. Геометрия, 8 класс. Учебник. – М.: «Просвещение», 2018.

Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С., Геометрия, 8 класс. Учебник. – М.: издательский центр «ВЕНТАНА-ГРАФ», 2018.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

Интернет-портал yaklass.ru (Источник)

Интернет-портал 100formul.ru (Источник)

Интернет-портал ru.onlinemschool.com (Источник)

 

Домашнее задание

В треугольнике  угол , , а высота  делит сторону  на отрезки , . Найти площадь треугольника  и длину высоты, проведенной к стороне .

Найти площадь треугольника, две стороны которого равны  и , а градусная мера угла между ними равна .

Найти радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник со стороной .