Математика

Решение задачи №1

 

Найти высоту равностороннего треугольника со стороной 10 (рис. 1).

 

Дано:

∆ АВС

АВ = ВС = АС = 10

ВН – высота

Найти: ВН - ?

Рис. 1. Иллюстрация к задаче

Решение.

Все высоты сторон равностороннего треугольника равны друг другу.

Высота образует с противоположной стороной прямой угол. Поэтому появилось 2 прямоугольных треугольника: ∆АВН и ∆ВНС. Поэтому можем воспользоваться теоремой Пифагора.

1.      ВН – высота, медиана и биссектриса. Так как равносторонний треугольник является равнобедренным. Высота такого треугольника, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой.

АН = НС =  АС = 5

2.      ∆ВНС – прямоугольный, Ð Н = 90° . по теореме Пифагора .

3.     

Ответ: высота равностороннего треугольника ВН=.

 

Решение задачи №2

 

 

Найти высоты треугольника со сторонами 5; 5 и 8 (рис. 2).

 

Дано:

∆АВС

АВ = ВС = 5

АС = 8

АН₁, ВН₂, СН₃ – высоты

Рис. 2. Иллюстрация к задаче

Найти: АН₁, ВН₂ - ?

Решение.

Высоты АН₁, СН₃ на рисунке не рисуем, так как не знаем, где они будут находиться. Они будут равны друг другу, потому что в равнобедренном треугольнике высоты к боковым сторонам обязательно равны.

1.      ВН₂ – высота, медиана, биссектриса.

АН₂ = Н₂С = ½ АС = 4

2.      ∆ ВН₂С – прямоугольный, Ð Н₂ = 90 °. По теореме Пифагора:

3.      ВН₂² = ВС² – Н₂С²  = 5² – 4² = 25 – 16 = 9

ВН₂ = 3

Перейдем к нахождению высоты АН₁. Поскольку мы не знаем, где она находится, мы не можем воспользоваться теоремой Пифагора. Но любая из высот треугольника может быть использована для вычисления его площади по формуле: ½ произведения высоты на основание, к которому проведена эта высота.

4.      S_АВС = ½ ВН₂∙ АС = ½ АН₁ ∙ ВС

Ответ: АН₁ = 4,8; ВН₂ = 3.

 

Решение задачи №3

 

 

В прямоугольном треугольнике с катетами 15 и 20 проведена высота к гипотенузе. Определить, на какие отрезки делит эта высота гипотенузу (рис. 3).

 

Дано:

∆ АСН

ВС = 20

АС = 15

Ð С = 90 °

СН – высота

Найти: АН, НВ - ?

Рис. 3. Иллюстрация к задаче

Решение.

С одной стороны видно, что каждый из отрезков – катет одного из прямоугольных треугольников.

АН – катет ∆АНС, НВ – катет ∆НВС. СН – катет, который является общим. Воспользуемся формулой для нахождения площади треугольника АВС. Но необходимо найти гипотенузу АВ, к которой проведена высота СН.

1.      По теореме Пифагора:

АВ² = АС² + ВС² = 15²+ 20² = 625

АВ = 25

2.      S_АВС = ½ ВС∙АС = ½ СН∙АВ

3.      Теорема Пифагора для ∆ АСН:

АС² = АН² + НС²

Аналогично можно найти НВ. Или вспомнив, что АВ = АН + НВ.

НВ = АВ – АН = 25 – 9 = 16.

Ответ: АН = 9; НВ = 16.

 

Список литературы

1. Александров А.Д. и др. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2006.
2. Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. Геометрия, 7–9.
3. Жмудь Л.Я. Пифагор и его школа. –  Л.:Наука, Ленингр. Отделение, 1990.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Festival.1september.ru (Источник).
2. Festival.1september.ru (Источник).

 

Домашнее задание

1. Стороны прямоугольника – 5 см и 12 см. Найти диагональ прямоугольника.
2. Диагонали ромба равны 18 и 24 см. Найти периметр ромба и расстояние между параллельными сторонами.