Математика

Формула Герона

 

Цель урока – вывести формулу для вычисления площади треугольника по трем его сторонам, т. е. решить следующую задачу:

 

Дано: , ; ;  (см. Рис. 1).

Доказать: , где .

Рис. 1. Иллюстрация к доказательству формулы Герона

Доказательство

Есть треугольник . Мы знаем формулу для вычисления площади треугоольника: , где  – основание,  – высота.

Что взять за основание, что за высоту?

В любом треугольнике как минимум два угла острые. Если бы это было не так, то сумма углов треугольника была бы больше .

Домустим, что углы  и  острые, если бы это было не так, то , а есть еще угол , то есть это невозможно.

Углы  и  – острые, тогда прямую  расположим горизонтально. В этом случае высота  находится внутри треугольника .

Почему?

В противном случае треугольник  не имел бы права на существование, т. к. угол  – прямой угол, угол при вершине  – тупой угол, а значит, их сумма превышает , а это невозможно.

Итак, высота находится внутри треугольника, чертеж обоснован.

Осознаем задачу. Треугольник задан тремя сторонами, его площадь равняется половине основания , умноженной на высоту . Задача сводится к нахождению  – высоты – по трем сторонам, и решается она известным приемом.

Пусть , тогда . У нас есть две неизвестные:  и . Теорема Пифагора для обоих прямоугольных треугольников  и  даст систему уравнений относительно этих неизвестных.

Решим систему:

Решаем второе уравнение относительно :

Одно неизвестное нашли, осталось найти второе неизвестное.

Из нашей системы найдем .

По существу, задача решена. Нам известно , , , мы получили выражение для площади через , , и . Но более двух тысяч лет тому назад Герон упростил это выражение и получил изящную формулу. Потрудимся и мы, и получим эту формулу. Надо преобразовать подкоренное выражение.

Во-первых, извлечем корень из знаменателя – это возможно:

Подкоренное выражение разложим на множители:

Теперь рассмотрим по очереди оставшиеся скобки:

Пусть  – полупериметр:

1.        

2.        

3.        

4.        

Все четыре скобки преобразовали и выразили через полупериметр.

Теперь мы в состоянии записать подкоренное выражение:

Подставим преобразованное подкоренное выражение в формулу для площади:

Формула Герона доказана.

Не забудьте важный прием, который позволил найти высоту по сторонам треугольника.

Далее решим конкретную задачу на применение формулы Герона.

 

Задача

 

 

В треугольнике  известны стороны: ; ; .

 

Найти: .

Решение:

Ответ: 84.

 

Заключение

 

 

Итак, на этом уроке мы доказали формулу Герона для нахождения площади треугольника по трем его сторонам. Закрепили эту формулу решением конкретной задачи.

 

 

Список литературы

1. Геометрия, 7-9 классы, Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Э.Г., Юдина И.И. 15-е изд., М.: Просвещение, 2005.

2. Александров А.Д. и др. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2006.

3. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2011.

4. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир С.М. Геометрия, 8 класс. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ, 2009.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет портал «Презентации для школьников» (Источник)

2. Интернет портал «Формулы, интерактивный справочник» (Источник)

3. Интернет портал «Математика, которая мне нравится» (Источник)

 

Домашнее задание

1. Найдите площадь треугольника по трем сторонам:

а) 17; 65; 80; б) ; ; 6; в) 15; 37; 47; г) 2; 3; 1,83.

2. Стороны треугольника равны , , . Найдите высоту треугольника, опущенную на сторону .

3. Периметр равнобедренного треугольника равен 64 см, а его боковая сторона на 11 см больше основания. Найдите высоту треугольника, опущенную на боковую сторону.