Математика

Тема 15: Площадь. Профильный уровень

Урок 13: Теорема, обратная теореме Пифагора

Видео
Тренажер
Теория

Заметили ошибку?

Теорема Пифагора

Сперва вспомним саму теорему Пифагора.

Есть прямоугольный треугольник, угол – прямой, – гипотенуза, и – катеты (см. Рис. 1).

Рис. 1. Прямоугольный треугольник

В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

Угол 90 градусов – наибольший в данном треугольнике. Наибольшая сторона – .

Квадрат длины наибольшей стороны равен сумме квадратов длин двух других сторон.

Теорема, обратная теореме Пифагора

Перед нами иная ситуация. Мы не знаем, прямой угол или нет. Но оказалось, что . Чему равен угол ? Что вообще мы можем сказать про такой треугольник?

Мы можем сказать, что сторона – наибольшая. , .

Значит, угол – наибольший. .

Если бы было иначе, то сумма всех углов была бы меньше 180 градусов. Но оказывается, угол в точности равен 90 градусам. В этом смысл теоремы, обратной теореме Пифагора.

Формулировка теоремы: если квадрат длины стороны треугольника равен сумме квадратов длин двух других сторон, то такой треугольник прямоугольный.

Докажем эту теорему.

Дано:.

Доказать:.

Доказательство

Рис. 2. Доказательство теоремы

Построим прямоугольный треугольник с катетами и . Угол – прямой (см. Рис. 2). ( ; ; ).

Такой треугольник существует. В этом прямоугольном треугольнике действует прямая теорема Пифагора, то есть: .

Но по условию: .

Отсюда следует, что . Значит, .

Выясняется, что треугольники равны друг другу по трем сторонам: .

Теорема доказана.

Примечание: мы сконструировали треугольник , в котором искомое свойство присутствует, и доказали, что треугольники равны, а значит, углы .

Задача 1

Дано: стороны треугольника (см. Рис. 3).

Доказать: – прямоугольный.

Рис. 3. Треугольник

a) ; ;

;

– прямой по обратной теореме Пифагора.

Это всем нам известный «египетский треугольник».

b) ; ;

; ;

Данный треугольник также является прямоугольным.

«Пифагоровы треугольники»

Мы привели примеры так называемых «пифагоровых треугольников». Это такие прямоугольные треугольники, у которых длины сторон являются натуральными числами.

Проверьте, что следующие треугольники к ним относятся: ; – это частные примеры «пифагоровых треугольников».

А можно ли их описать в общем виде? Можно. Упомянем следующий факт:

, – гипотенуза.

Пусть , , – натуральные числа, где .

По ним вычислили:

Как оказывается, треугольник с такими сторонами прямоугольный и он является «пифагоровым».

Приведем примеры.

Примеры нахождения «пифагоровых треугольников»

1. ; ;

Получили известный нам «египетский треугольник»

2. ; ;

Получили тоже известный нам прямоугольный треугольник .

Общая теорема Пифагора

Прямую и обратную теорему Пифагора можно объединить в одну теорему. Она звучит так: треугольник является прямоугольным тогда и только тогда, когда квадрат длины одной стороны равен сумме квадратов длин двух других сторон (см. Рис. 4).