Математика

 Первый признак подобия треугольников.

Докажем подобие треугольников по двум углам.

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

 

 

Дано: ΔABC, ΔA₁B₁C₁,

∠A = ∠A₁, ∠B = ∠B₁,

Доказать: ΔABC∼ΔA₁B₁C₁

Доказательство:

1. По теореме о сумме углов треугольника

   ∠C = 180°-(∠A+∠B), ∠C₁ = 180°-(∠A₁+∠B₁).

   Так как ∠A = ∠A₁ и ∠B = ∠B₁, то и ∠C = ∠C₁.

    

   

    

2. Пусть AB<A₁B₁. На луче A₁B₁ отложим отрезок A₁B₂ такой, что A₁B₂ = AB.

3. Через точку B₂ проведем прямую B₂C₂, параллельную прямой B₁C₁.

4. ∠A₁B₂C₂ = ∠A₁B₁C₁ (как соответственные при B₂C₂ ∥ B₁C₁ и секущей A₁B₁).

   Значит, ∠A₁B₂C₂ = ∠B.

5. В треугольниках A₁B₂C₂ и ABC:

   ∠A₁ = ∠A,

   ∠A₁B₂C₂ = ∠B,

   A₁B₂ = AB.

   Значит, ΔA₁B₂C₂ = ΔABC (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

   Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: A₁C₂ = AC.

6. По теореме о пропорциональных отрезках А₁С₂:А₁С₁ = А₁В₂:А₁В₁.

   Так как A₁B₂ = AB и A₁C₂ = AC, то АС:А₁С₁ = АВ:А₁В₁.

7. Аналогично доказывается, что АВ:А₁В₁ = ВС:В₁С₁.

8. Таким образом, в треугольниках ABC и A₁B₁C₁:

   ∠A = ∠A₁, ∠B = ∠B₁, ∠C = ∠C₁,

   АВ:А₁В₁ = ВС:В₁С₁ = АС:А₁С₁.

   Значит, ΔABC∼ΔA₁B₁C₁ по определению подобных треугольников, что и требовалось доказать.

При решении задач чаще других используется именно 1-й признак подобия треугольников.

Задача 1. Доказать, что любые два равнобедренных треугольника, у которых углы между равными сторонами равны, являются подобными.

Решение. Пусть даны равнобедренные треугольники ABC и A₁B₁C₁ с ∠A = ∠A₁ (углы А и А₁ лежат против оснований ВС и В₁С₁ соответственно). Так как треугольник ABC равнобедренный, то ∠B = ∠C = (180−∠A):2. Так как треугольник A₁B₁C₁ равнобедренный, то ∠B₁ = ∠C₁ = (180−A₁):2 = (180−∠A):2 = ∠B = ∠C.

То есть ∠B = ∠B₁, ∠C = ∠C₁. По первому признаку подобия получаем, что треугольники ABC и A₁B₁C₁ подобны.

Задача 2.

 

 

Дано:

∠А = ∠В

СО:DO = 7:2

AC = 21 см

Найти: ВD

Решение: рассмотрим ∆АОС и ∆ВОD.

Так как ∠А = ∠В (по условию задачи), ∠АОС = ∠ВОD (как вертикальные углы), то по первому признаку подобия треугольников ∆АОС ~ ∆ВОD.

Следовательно, сходственные стороны треугольников пропорциональны:

АО:ВО = АС:BD = CO:DO

Подставив данные, получим 21:BD = 7:2

Ответ: BD = 6см.