Математика

 Второй признак подобия треугольников.

Докажем подобие треугольников по двум пропорциональным сторонам и углу между ними.

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

 

 

Дано: ΔABC, ΔA₁B₁C₁,

∠A = ∠A₁,

АВ:А₁В₁ = АС:А₁С₁

Доказать: ΔABC∼ΔA₁B₁C₁

Доказательство:

 

 

1. Пусть AB<A₁B₁. Отложим на луче A₁B₁ отрезок A₁B₂ такой, что A₁B₂ = AB.

2. Через точку B₂ проведём прямую B₂С₂, параллельную прямой B₁C₁.

3. ∠A₁B₂C₂ = ∠A₁B₁C₁ (как соответственные при B₂C₂ ∥ B₁C₁ и секущей A₁B₁).

4. В треугольниках A₁B₂C₂ и A₁B₁C₁:

∠A₁ — общий

∠A₁B₂C₂ = ∠A₁B₁C₁ (по доказанному)

Поэтому ΔA₁B₂C₂∼ΔA₁B₁C₁ (по двум углам).

Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:

А₁В₂:А₁В₁ = А₁С₂:А₁С₁

1. Так как A₁B₂ = AB и АВ:А₁В₁ = АС:А₁С₁, то AC = A₁C₂.

2. В треугольниках ABC и A₁B₂C₂:

   A₁B₂ = AB (по построению)

   AC = A₁C₂ (по доказанному)

   ∠A = ∠A₁ (по условию).

   Поэтому ΔABC = ΔA₁B₂C₂ (по двум сторонам и углу между ними).

   Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: ∠ABC = ∠A₁B₂C₂.

3. Так как ∠A₁B₂C₂ = ∠A₁B₁C₁, то и ∠ABC = ∠A₁B₁C₁.

4. В треугольниках ABC и A₁B₁C₁:

   ∠A = ∠A₁ (по условию);

   ∠ABC = ∠A₁B₁C₁ (по доказанному).

   Следовательно, ΔABC∼ΔA₁B₁C₁ по двум углам, что и требовалось доказать.

Задача 1. На сторонах АВ и АС треугольника АВС отметили соответственно точки D и E так, что $\mathit{AD}=\frac{4}{7}\mathit{AC}$, $\mathit{AE}=\frac{4}{7}\mathit{AB}$. Найти DE, если BC = 21 см.

 

 

Треугольники ABC и AED имеют общий угол A и две пары пропорциональных сторон – АD и АС, АЕ и АВ. Значит, эти треугольники подобны по второму признаку подобия с коэффициентом подобия $\frac{4}{7}$. Из этого следует, что

$\mathit{DE}=\frac{4}{7}\mathit{BC}=\frac{4}{7}\bullet 21=12$ см.

Ответ: 12 см.

Задача 2. На одной стороне угла А отложены отрезки AB и AD, а на другой – AC и AE. Подобны ли треугольники ABC и ADE, если AB = 2 см, AD = 10 см, AC = 5 см и AE = 4 см?

 

 

Рассмотрим треугольники ABC и ADE, у которых угол A – общий. Запишем отношения соответствующих сторон:

$\frac{\mathit{AB}}{\mathit{AE}}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$

$\frac{\mathit{AC}}{\mathit{AD}}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$

Получили, что две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и при этом треугольники имеют общий угол, образованный этими сторонами а значит, эти треугольники подобны по второму признаку подобия.

Ответ: да, подобны.