Математика

 Третий признак подобия треугольников.

Докажем подобие треугольников по трем сторонам.

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

 

 

Дано: ΔABC, ΔA₁B₁C₁,

АВ:А₁В₁ = АС:А₁С₁ = ВС:В₁С₁

Доказать: ΔABC∼ΔA₁B₁C₁

Доказательство:

 

 

1. Пусть AB<A₁B₁. Отложим на луче A₁B₁ отрезок A₁B₂, A₁B₂=AB.

2. Через точку B₂ проведём прямую B₂С₂, параллельную прямой B₁C₁.

3. В треугольниках A₁B₂C₂ и A₁B₁C₁: ∠A₁ — общий, ∠A₁B₂C₂ = ∠A₁B₁C₁ (как соответственные при B₂C₂ ∥ B₁C₁ и секущей A₁B₁).

   Поэтому ΔA₁B₂C₂∼ΔA₁B₁C₁ (по двум углам).

   Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:

   А₁В₂:А₁В₁ = А₁С₂:А₁С₁ = В₂С₂:В₁С₁

4. Поскольку A₁B₂ = AB, то АВ:А₁В₁ = А₁С₂:А₁В₁ = В₂С₂:В₁С₁

   Так как по условию АВ:А₁В₁ = АС:А₁В₁ = ВС:В₁С₁, то A₁C₂ = AC и B₂C₂ = BC.

5. В треугольниках ABC и A₁B₂C₂:

   A₁B₂ = AB (по построению),

   B₂C₂ = BC (по доказанному),

   A₁C₂ = AC (по доказанному).

   Значит, ΔABC = ΔA₁B₂C₂ по трём сторонам.

   Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов:

   ∠A = ∠A₁, ∠ABC = ∠A₁B₂C₂.

6. В треугольниках ABC и A₁B₁C₁:

   ∠A = ∠A₁; так как ∠A₁B₂C₂ = ∠A₁B₁C₁, то и ∠ABC=∠A₁B₁C₁.

   Отсюда ΔABC∼ΔA₁B₁C₁ по двум углам, что и требовалось доказать.

Задача. Подобны ли треугольники АВС и А₁В₁С₁, если АВ = 1,3 см, А₁В₁ = 26 см, В₁С₁ = 50 см, А₁С₁ = 60 см, ВС = 2,5 см, АС = 3,2 см?

Для треугольников АВС и А₁В₁С₁ найдем отношения соответствующих сторон:

А₁В₁:АВ = 26:1,3 = 20

А₁С₁:АС = 60:3,2 = 18,75

В₁С₁:ВС = 50:2,5 = 20

Получили, что A₁B₁:AB = B₁C₁:BC ≠ А₁С₁:АС, следовательно, треугольники не являются подобными.