Математика

 

 

Тема: Числовые функции

 

Урок: Аналитический способ

 

1. Вступление

 

 

На уроке изучаются способы задания функции и рассматривается задание функции аналитическим способом, то есть с помощью формул.

 

Определение. Функцией  называется закон (правило), по которому каждому элементу (числу)  из множества  ставится в соответствие единственный элемент (число) .

В определении: – независимая переменная (аргумент),  - зависимая переменная (функция), множество  – область определения, то есть множество всех допустимых значений аргумента.

Из определения ясно: чтобы задать функцию, надо задать закон или правило. Надо учесть единственное требование, которому должен удовлетворять этот закон : каждому   должен соответствовать единственный элемент .

 

2. Конкретные примеры аналитического (формульного) задания функции

 

 

Линейная функция.

 

а.

б.

Рис. 1. График функции

Требуется: для каждой функции построить график, найти область определения и область значений.

Решение.

а. Строится график функции  (см. Рис. 1).

Ответ:

б. Строится график функции  (см. Рис. 2).

Ответ:

Рис. 2. График функции

Квадратичная функция.

а.

б.

Требуется: для каждой функции построить график, найти область определения и область значений.

Решение.

Рис. 3. График функции

а. Строим график функции  (см. Рис. 3).

Ответ:

Чтение графика: если  возрастает от   до , то  убывает от  до ; если  возрастает от  до  , то  возрастает от  до  .

б. Строим график функции  (см. Рис. 4).

Рис. 4. График функции

Ответ: область определения  – проекция на ось . Область значений  – проекция на ось .

Чтение графика: если возрастает от  до , то  убывает от  до ; если  возрастает от  до , то  возрастает от  до .

 

3. Сопутствующая задача (на чтение графика)

 

 

Найдите все значения параметра , при каждом из которых уравнение , где :

 

1. Имеет хотя бы одно решение;

2. Имеет одно решение;

3. Имеет два решения.

Решение.

Решить задачу с параметром означает рассмотреть все значения параметра и при каждом из них указать ответ.

Решение задачи выполняется по алгоритму.

Рис. 5. График функций

 и

1. Построить график функции, стоящей в левой части исходного уравнения , то есть график квадратичной функции  (см. Рис. 4).

2. Рассечь график семейством прямых  (см. Рис. 5).

3. Найти точки пересечения и их количество.

4. Выписать ответ.

Ответ:

1. Уравнение имеет хотя бы одно решение при  (это следует из определения области значений, то есть каждое значение функции из области значений достигается хотя бы при одном значении аргумента);

2. Одно решение при  ;

3. Два решения при .

Примечание. Данные задачи важны, так как встречаются на экзаменах в 9 и 11 классах.

 

4. Пример аналитического задания функции с помощью нескольких формул

 

 

 

 

Дана функция , где

Требуется:

1. Построить график функции;

2. Найти ее области определения и значений.

Решение. График функции изображен на Рис.6.

Рис. 6. График функции

Ответ: область определения  – проекция графика функции на ось ; область значений  – проекция графика функции на ось .

 

5. Сопутствующая задача (на чтение графика)

 

 

Найдите все значения параметра , при каждом из которых уравнение , где :

 

1. Имеет хотя бы одно решение;

2. Имеет только одно решение;

3. Имеет два решения.

Чтение графика: если  возрастает от  до , то  возрастает от  до ; если  возрастает от   до , то  возрастает  от до ; если  возрастает от  до , то  убывает от   до .

Решение. Воспользуемся соответствующим алгоритмом (см. п.3).

1. Построить график функции  (см. Рис. 6).

2. Рассечь график функции  семейством прямых  (см. Рис. 7).

3. Найти точки пересечения и их количество.

4. Выписать ответ.

Рис. 7. График функции

и  где

Ответ:

1. Уравнение имеет хотя бы одно решение при ;

2. Уравнение имеет только одно решение при ;

3. Уравнение имеет два решения при .

 

 

6. Итог урока

 

 

На этом уроке повторили определение функции, рассмотрели аналитические способы задания функций ( с помощью одной или нескольких формул ). Этот способ задания функций будет использоваться и далее.

 

 

Список рекомендованной литературы

1. Макарычев Ю.Н. и др. Алгебра 9 класс (учебник для средней школы).-М.: Просвещение, 1992.

2. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков, К.И. Алгебра для 9 класса с углубл. изуч. математики.-М.: Мнемозина, 2003.

3. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г Дополнительные главы к школьному учебнику алгебры 9 класса.-М.: Просвещение, 2002.

4. Галицкий М.Л., Гольдман А.М., Звавич Л.И. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубл. изуч. математики).-М.: Просвещение, 1996.

5. Мордкович А.Г.  Алгебра 9  класс, учебник  для общеобразовательных учреждекний. – М.: Мнемозина, 2002.

6. Мордкович А.Г. , Мишутина  Т.Н.,  Тульчинская Е.Е. Алгебра 9  класс, задачник для общеобразовательных учреждекний. – М.: Мнемозина, 2002.

7. Глейзер Г.И. История математики в школе. 7-8 классы (пособие для учителей).-М.: Просвещение, 1983.  

 

Рекомендованные ссылки на интернет-ресурсы

1. Раздел College.ru по математике (Источник).

2. Портал Естественных Наук (Источник).

3. Exponenta.ru Образовательный математический сайт (Источник).

 

Рекомендованное домашнее задание

1. № 14,15, 17 (Макарычев Ю.Н. и др. Алгебра 9 класс).

2. № 8.132 (Галицкий М.Л., Гольдман А.М., Звавич Л.И. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов).