Математика

 

 

Тема: Числовые функции

 

 Урок: Графический и табличный способы задания функции

 

1. Вступление

 

 

Раннее рассматривался аналитический способ задания функции, то есть с помощью формулы. На этом уроке рассматриваются иные способы задания функции, а именно графический и табличный.

 

 

2. Требование к кривой, которая графически задает функцию

 

 

Определение. Функцией  называется закон (правило), по которому каждому допустимому значению аргумента  ставится в соответствие единственное значение функции .

 

Из определения функции следует требование к кривой (в координатной плоскости), которая задает графически функцию: любая вертикальная прямая  , где  – разрешенное значение аргумента, должна пересекать кривую в единственной точке.

Пояснение этого на примерах.

1. Какая кривая задает графически функцию?

 

 

 

 

 

Рис. 1. График окружности

а. Задан график окружности (см. Рис. 1).

Вертикальная прямая   пересекает кривую в двух точках.Требование нарушается. Следовательно, данная кривая не задает графически функцию.

 

 

 

 

Рис. 2. График верхней полуокружности

 

 

 

 

Рис. 3. График нижней полуокружности

б. Задан график верхней полуокружности (см. Рис. 2).

Вертикальная прямая  пересекает кривую в единственной точке. Следовательно, кривая задает функцию.

в. Задан график нижней полуокружности (см. Рис. 3).

Вертикальная прямая пересекает кривую в единственной точке. Следовательно, кривая задает функцию.

2. По графическому заданию функций в случаях б. (см. Рис. 2) и в. (см. Рис. 3) получить их аналитическое задание, то есть задание формулой (для полуокружностей это возможно).

а. график окружности задается уравнением

;

б. график функции ;                                     

в. график функции .

 

3. Пример табличного задания функции

 

 

Задана таблица. Каковы области определения и значений?

 

x	-2	-1	0	1	2	3
y	0	1	2	3	4	5

Графиком является совокупность точек координатной плоскости (см. Рис. 4).

 

 

 

 

 

Рис. 4. График функции, заданной таблично

Ответ: Область определения ; область значений .

 

4. Обратная задача

 

 

По графику функции задать функцию аналитически.

 

 

 

 

 

 

Рис. 5.

1. Является ли графическим заданием какой-либо функции фигура на Рис. 5? Задайте эту функцию аналитически.

Решение.

Любая вертикальная прямая пересекает ломаную в единственной точке. Отсюда можно сделать вывод, что каждому значению  соответствует единственное значение . Следовательно, фигура на рисунке задает функцию.

Горизонтальная прямая задается уравнением , если . Составим уравнение прямой :

, где

Ответ: ломаная является графиком функции .

2. Опишите аналитически кривые на рисунках

а.

Рис. 6.

Рис. 7.

в.

Рис. 8.

Заметим, что кривая на Рис. 6 не задает функцию, а кривые на Рис. 7, Рис. 8 являются графическим заданием функций. Решение. Используется уравнение окружности. Уравнение  задает окружность на Рис. 9.

 

 

 

 

 

Рис. 9. Окружность с центром в точке  и радиуса

а.

Из уравнения окружности в случае а) выразим :

.

Ответ: б) ; в) .

 

5. Задача 1

 

 

Для функции   найти , построить график.

 

Решение. .

 

 

 

 

 

Рис. 10. График функции

Получилось уравнение полуокружности. График изображен на Рис. 10.

Ответ: .

 

6. Задача 2

 

 

Найти коэффициент  для функции  , если её график проходит через точку . Построить график, указать области определения и значений.

 

Решение. Точка  лежит на графике функции, значит её координаты удовлетворяют уравнению функции:

 .

 

 

 

 

 

Рис. 11. График функции

График – гипербола (см. Рис. 11).

Ответ: .

 

7. Задача для квадратичной функции

 

 

Найдите коэффициент  для функции , если её график проходит через точку. Построить её график, указать  и .

 

Решение. Точка  лежит на графике функции, значит её координаты удовлетворяют уравнению функции:

 

 

 

 

Рис. 12. График функции .

. График – парабола (см. Рис. 12).

Ответ:

 

 

8. Задача на взаимосвязь графического и аналитического задания функции

 

 

Решить графически уравнение .

 

Решение. Рассмотрим систему

 

 

 

 

 

Рис. 13.

Две точки пересечения  (см. Рис. 13).

Проверка: ,   .

Ответ:.

 

9. Итог урока

 

 

Были рассмотрены графический и табличный способы задания функций. На следующем уроке будут рассматриваться свойства функций.

 

 

Список рекомендованной литературы

1. Макарычев Ю.Н. и др. Алгебра 9 класс (учебник для средней школы).-М.: Просвещение, 1992.

2. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков, К.И. Алгебра для 9 класса с углубл. изуч. математики.-М.: Мнемозина, 2003.

3. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г Дополнительные главы к школьному учебнику алгебры 9 класса.-М.: Просвещение, 2002.

4. Галицкий М.Л., Гольдман А.М., Звавич Л.И. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубл. изуч. математики).-М.: Просвещение, 1996.

5. Мордкович А.Г.  Алгебра 9  класс, учебник  для общеобразовательных учреждекний. – М.: Мнемозина, 2002.

6. Мордкович А.Г. , Мишутина  Т.Н.,  Тульчинская Е.Е. Алгебра 9  класс, задачник для общеобразовательных учреждекний. – М.: Мнемозина, 2002.

7. Глейзер Г.И. История математики в школе. 7-8 классы (пособие для учителей).-М.: Просвещение, 1983.  

 

Рекомендованные ссылки на интернет-ресурсы

1. Раздел College.ru по математике (Источник).

2. Портал Естественных Наук (Источник).

3. Exponenta.ru Образовательный математический сайт (Источник).

 

Рекомендованное домашнее задание

1. № 18, 19, 20 (Макарычев Ю.Н. и др. Алгебра 9 класс).

2. № 8.135(а) (Галицкий М.Л., Гольдман А.М., Звавич Л.И. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов).