Математика

Свойства графически заданной функции

 

Рассмотрим функцию  и «прочтем» её график (см. рис. 1).

 

Рис. 1. График функции

1.  – проекция на ось ;

2.  – проекция на ось ;

3.  – корни (нули функции);

4. ;

5. .

В целом функция не монотонна. Рассмотрим промежутки монотонности.

6. возрастает при , то есть большему значению аргумента соответствует большее значение функции (монотонность «в горку»);

7. убывает при , то есть большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции (монотонность «под горку»).

 

Возрастающая функция

 

 

 

Рис. 2. График возрастающей функции

Определение. Функцию  называют возрастающей на множестве , если для любых  и  из множества , таких, что , выполняется неравенство .

Разъяснение: большему значению аргумента соответствует большее значение функции (см. рис. 2).

 

Убывающая функция

 

 

Определение. Функцию называют убывающей на множестве , если для любых   множества, таких, что , выполняется неравенство.

 

Разъяснение: большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции (см. рис. 3).

Рис. 3. График убывающей функции

 

Ограниченная снизу функция

 

 

 

Рис. 4. График ограниченной снизу функции

Определение. Функцию называют ограниченной снизу на множестве , если все значения функции на множестве больше некоторого числа (иными словами, если существует число  такое, что для любого значения  выполняется неравенство ) (см. рис. 4).

 

Ограниченная сверху функция

 

 

Определение. Функцию называют ограниченной сверху на множестве, если все значения функции меньше некоторого числа (иными словами, если существует число  такое, что для любого значения  выполняется неравенство  ) (см. рис. 5).

 

Рис. 5. График ограниченной сверху

 

Наименьшее значение функции

 

 

 

Рис. 6. График и наименьшее значение функции

Определение. Число  называют наименьшим значением функции  на множестве , если:

1. В существует такая точка , что .

2. Для всех выполняется неравенство .

Ясно, что, если у функции существует  , то она ограничена снизу (см. рис. 6).

 

 

Наибольшее значение функции

 

 

Определение. Число  называют наибольшим значением функции  на множестве , если:

 

1) в существует такая точка , что ;

2) для всех выполняется неравенство .

Ясно, что, если у функции существует , то она ограничена сверху (см. рис.7).

Рис. 7. График и наибольшее значение функции

 

Понятие выпуклой функции

 

 

Функция выпукла вниз на множестве  (кривая под отрезком) (см. рис.8).

 

Рис. 8. График выпуклой вниз функции

Рис. 9. График выпуклой вверх функции

Функция выпукла вверх на множестве (кривая над отрезком) (см.рис. 9).

 

Понятие непрерывной функции

 

 

 

Рис. 10. График непрерывной на отрезке функции

Непрерывность функции на промежутке означает: график сплошной, без проколов и скачков (см. рис.10).

Рис. 11. График функции

Пример функции, которая не является непрерывной (см. рис. 11):

.

.

 

Пример конкретной функции

 

 

Построить график функции  и «прочесть» его, указать .

 

 

Решение. График функции на рис. 12.

 .

Ответ: 1) ;

2) ;

3)  возрастает при ;

4)  убывает при ;

5) .

 

Рис. 12. График функции

 

Итог урока

 

 

На уроке были рассмотрены основные свойства числовых функций. На следующем уроке будут рассматриваться основные свойства конкретных числовых функций.

 

 

Список литературы

1. Макарычев Ю.Н. и др. Алгебра 9 класс (учебник для средней школы). – М.: Просвещение, 1992.
2. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков, К.И. Алгебра для 9 класса с углубл. изуч. математики. – М.: Мнемозина, 2003.
3. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г Дополнительные главы к школьному учебнику алгебры 9 класса. – М.: Просвещение, 2002.
4. Галицкий М.Л., Гольдман А.М., Звавич Л.И. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубл. изуч. математики). – М.: Просвещение, 1996.
5. Мордкович А.Г. Алгебра 9 класс, учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина, 2002.
6. Мордкович А.Г., Мишутина Т.Н., Тульчинская Е.Е. Алгебра 9 класс, задачник для общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина, 2002.
7. Глейзер Г.И. История математики в школе. 7-8 классы (пособие для учителей). – М.: Просвещение, 1983.

 

Домашнее задание

1. №№ 25, 27, 29 (Макарычев Ю.Н. и др. Алгебра 9 класс).
2. № 8.142 (а) (Галицкий М.Л., Гольдман А.М., Звавич Л.И. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов).

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал Mathematics.ru (Источник).
2. Интернет-портал E-science.ru (Источник).
3. Интернет-портал Exponenta.ru (Источник).