Математика

 

 

Тема: Числовые функции

 

 Урок: Свойства линейной функции  и  

 

1. Вступление

 

 

На этом уроке рассматриваются основные свойства двух видов функции: линейной и квадратичной. Решаются типовые задачи. 

 

 

2. Напоминание

 

 

Определение. Линейной называется функция вида , где

 

 - независимая переменная, аргумент;

 - зависимая переменная, функция;

 - константы.    

Примеры.

а. , (естественная область определения).

б.   

 

3. Анализ свойств конкретных линейных  функций

 

 

а. Функция  (см. Рис.1).

 

Рис. 1. График функции

.

.

.

Монотонно возрастает, непрерывна, не ограничена.

График иллюстрирует свойства.

б. Функция  (см. Рис.2).

Рис. 2. График функции

.

Монотонно возрастает, непрерывна, ограничена.

График иллюстрирует свойства.

 

4. Доказательство монотонности  линейной функции

 

 

Доказать монотонное возрастание функции на всей области определения.

 

Доказательство. Пусть  (см. Рис. 3).

Рис. 3. График линейной функции

Тогда  

то есть , что и требовалось доказать (  – любые).

Подтверждается свойство: если , то функция  возрастает.

 

5. Задача на определение знаков

 

 

По графику функции определить знаки и .

 

 – угловой коэффициент;  – ордината точки пересечения прямой с осью .

Ответ:

.

Ответ:

Ответ:

.

Ответ:

 

6. Задача о нахождении уравнения прямой, проходящей через две заданные точки

 

 

Найти уравнение прямой , если .

 

Решение.  График прямой на Рис. 4.

Рис. 4. График функции .

.

Ответ: .

 

7. Взаимное расположение прямых

 

 

(1)  и  (2).

 

 1.  (прямые пересекаются) (см. Рис. 5).

Рис. 5.

2.  (прямые параллельны) (см. Рис. 6)

Рис. 6.

3.  (прямые совпадают) (см. Рис. 7)

Рис. 7.

 

8. Определение числа решений системы

 

 

Определить число решений системы.

 

Ответ: одно решение

 

Ответ: решений нет

Ответ: бесчисленное множество решений

 

 

9. Свойства линейной  функции

 

 

 

Рис. 8. График функции

Рис. 9. График функции

1. ;

2. Возрастает, если ; убывает, если ;

3. Не ограничена ни снизу, ни сверху;

4. Нет ни наибольшего, ни наименьшего значений;

5. Функция непрерывна;

6. ;

7. О выпуклости говорить нет смысла.

 

10. Функция  и её свойства

 

 

Графиком функции  является парабола с вершиной в начале координат и с ветвями, направленными вверх (см. Рис. 10), если , и вниз (см. Рис. 11), если .

 

Свойства функции :

Рис. 10. График функции

 

Рис. 11. График функции

Рис. 12. График функции

а. для случая  (см. Рис. 12).

1. ;

2. Убывает на  ; возрастает на ;

3. Ограничена снизу, но не ограничена сверху;

4. ,  не существует;

5. Непрерывна;

6. ;

7. Выпукла вниз.

Рис. 13. График функции

б. для случая  (см. Рис. 13).

1. ;

2. Возрастает на луче ; убывает на луче  ;

3. Не ограничена снизу, но ограничена сверху;

4. не существует, ;

5. Непрерывна;

6.  ;

7. Выпукла вверх.

 

11. Задача

 

 

 Доказать возрастание функции при  .

 

Рис. 14. График функции

Доказательство. Так как , то есть

 для всех из множества .

 

12. Итог урока

 

 

Были рассмотрены свойства линейной и квадратичной функций. На следующем уроке будут рассматриваться свойства иных функций.

 

 

Список рекомендованной литературы

1. Макарычев Ю.Н. и др. Алгебра 9 класс (учебник для средней школы).-М.: Просвещение, 1992.

2. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков, К.И. Алгебра для 9 класса с углубл. изуч. математики.-М.: Мнемозина, 2003.

3. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г Дополнительные главы к школьному учебнику алгебры 9 класса.-М.: Просвещение, 2002.

4. Галицкий М.Л., Гольдман А.М., Звавич Л.И. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубл. изуч. математики).-М.: Просвещение, 1996.

5. Мордкович А.Г.  Алгебра 9  класс, учебник  для общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина, 2002.

6. Мордкович А.Г. , Мишутина  Т.Н.,  Тульчинская Е.Е. Алгебра 9  класс, задачник для общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина, 2002.

7. Глейзер Г.И. История математики в школе. 7-8 классы (пособие для учителей).-М.: Просвещение, 1983.  

 

Рекомендованные ссылки на интернет-ресурсы

1. Раздел College.ru по математике (Источник).

2. Портал Естественных Наук (Источник).

3. Exponenta.ru Образовательный математический сайт (Источник).

 

Рекомендованное домашнее задание

1. № 26, 30, 33 (Макарычев Ю.Н. и др. Алгебра 9 класс).

2. № 8.127 (Галицкий М.Л., Гольдман А.М., Звавич Л.И. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов).