Математика

 

 

Тема: Числовые функции

 

Урок: Степенная функция с нечетным показателем степени её свойства и график

 

1. Введение

 

 

Мы рассмотрим свойства и график степенной функции с нечетным показателем степени т.е. функции вида

 

 

2. Функция и её свойства

 

 

Рассмотрим функцию  (рис. 1).

 

График проходит через три фиксированные характерные точки:

Прочтем график и сформулируем свойства функции.

2. Функция нечетная, График симметричен относительно начала координат.

3. Функция возрастает.

4. Не ограничена ни сверху, ни снизу.

5 .Не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значения.

6. Функция непрерывна. Это значит, что кривую можно изобразить, не отрывая карандаша от бумаги.

7.

8. Выпукла вверх при выпукла вниз при .

 

3. Функция и её свойства

 

 

Рассмотрим свойства иных степенных функций с нечетным показателем степени.

 

Функция

1.

2. Функция нечетная,

3. График проходит через три фиксированные точки:

4. Функция возрастает.

5. Не ограничена ни сверху, ни снизу.

6. Нет ни наибольшего, ни наименьшего значения.

7. Функция непрерывна.

8.

9. Выпукла вверх при выпукла вниз при

 

4. Примеры

 

 

Рассмотрим взаимное расположение кривых на примере функций (рис. 2).

 

Например,

Рассмотренное свойство является ключом к решению ряда задач.

1. Найдитеи постройте график функции.

Решение:

График получим из известного нам графика  путем сдвига на две единицы вправо (рис. 3).

 

Отметим точки пересечения с осями.

Ответ:

2.  График данной функции получаем из графика функции  сдвигом на одну единицу вверх (рис. 4).

 

Ответ:

 

5. Свойство функции с нечетным показателем

 

 

Мы изучаем степенные функции с нечетным показателем степени. Все они монотонно возрастают на всей области определения. Отметим важное свойство:

 

Если функция возрастает, а функция  убывает, и если уравнение имеет корень, то этот корень – единственный (рис. 5).

 

6. Решение задач

 

 

Рассмотрим примеры:

 

1. Решить уравнение

решить неравенство

Решение:

Корень

Функция  монотонно возрастает, функция  монотонно убывает, корень есть, значит, он единственный.

Решением неравенства является луч

Ответ:

2. Построить график кривой

Решить уравнение

Решить неравенство

Решение:

Построим график функции  Для этого график функции  сдвинем на 3 вправо вдоль оси x и на 1 вниз вдоль оси y(рис. 7).

 

Функция монотонно возрастает, поэтому прямая пересекает кривую только в одной точке. Это точка

Решением неравенства является луч  На этом промежутке кривая расположена выше оси x.

Ответ:

3. Найти область значений функции  где

Решение:

Если x то yвозрастает и

Ответ:

4. Определить число решений системы

Решение:

Построим график каждой функции. График функции симметричное отображение графика  относительно оси x.Если  монотонно возрастает, то  монотонно убывает.

График функции  получаем сдвигом графика  на 6 вниз вдоль оси у(рис. 9).

Функция  монотонно возрастает, и если кривые пересекаются, то только в одной точке.

Ответ: Система имеет только одно решение.

 

7. Заключение

 

 

Мы рассмотрели график и свойства степенной функции с нечетным показателем степени. На следующем уроке мы рассмотрим задачи на степенную функцию с натуральным показателем.

 

 

Список рекомендованной литературы

1. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Учеб.для общеобразоват. учреждений.- 4-е изд. – М.: Мнемозина, 2002.-192 с.: ил.

2. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М.: Мнемозина, 2002.-143 с.: ил.

3. Макарычев Ю. Н. Алгебра. 9 класс : учеб.для учащихся общеобразоват. учреждений / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, И. Е. Феоктистов. — 7-е изд., испр. и доп. — М.: Мнемозина, 2008.

4 .Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В. Алгебра. 9 класс. 16-е изд. - М., 2011. - 287 с.

5. Мордкович А. Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. — 12-е изд., стер. — М.: 2010. — 224 с.: ил.

6. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мишустина и др.; Под ред. А. Г. Мордковича. — 12-е изд., испр. — М.: 2010.-223 с.:ил.

 

Рекомендованные ссылки на ресурсы интернет

1. Открытая математика (Источник).

2. Задачи (Источник).

3. Решу ЕГЭ (Источник).

 

Рекомендованное домашнее задание

Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М. : Мнемозина, 2002.-143 с.: ил.

№№306, 307(б, г), 310, 308(а, в).