Математика

 

 

Тема: Числовые функции

 

Урок: Степенная функция её свойства и график

 

 

1. Введение

 

 

На этом уроке мы начнем рассматривать степенную функцию с отрицательным показателем.

 

 

2. График и свойства функции

 

 

Сначала мы познакомимся с функцией т.е. с функциями вида:

 

Рассмотрим график функции

Можно воспользоваться таблицей, а можно проанализировать уже известные нам графики (рис. 1,2).

Изучая графики функций можно себе представить, как будет выглядеть график функции  (рис. 3).

Функция четная, поэтому мы можем изучить и изобразить график на луче и симметрично отобразить относительно оси y.

Если  xвозрастает, то и возрастает, а убывает.

При  функция не существует.

 

Прочтем график.

Если  то у возрастает,

Если то у убывает,

1.

2. Функция четная, График симметричен относительно оси y.

3. Функция убывает на луче  и возрастает на луче

4. Функция ограничена снизу и не ограничена сверху.

5. Функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значения.

6. Функция непрерывна на луче  и на луче

7.

8. Функция выпукла вниз на луче  и на луче

Функция имеет асимптоты, рассмотрим их.

Асимптота – это такая прямая, к которой данная кривая неограниченно приближается.

При

Ось xявляется горизонтальной асимптотой, её уравнение .

При

При

Ось yявляется вертикальной асимптотой, ее уравнение .

Рассмотрим интервалы знакопостоянства функции (рис. 4).

На луче  функция положительна, на луче  функция положительна, и только при функция не существует.

Рассмотрим типовые неравенства.

 

3. Примеры

 

 

Свойства функции – ключ к решению многих задач.

 

1. Найти все значения параметра m, при каждом из которых уравнение

имеет хотя бы одно решение.

Решение:

Изобразим график функции , она определена при всех x кроме (рис. 5).

Это значит, что любое значение  достигается хотя бы при одном значении аргумента.

Заметим, что если мы задаем  то получаем два решения, .

2. Решить уравнение с параметром:

Решение:

Необходимо построить график функции  пересечь его семейством прямых , найти точки пересечения и выписать ответ (рис. 5а).

Нет решений при

Два различных решения при

Мы подробно рассмотрели график и свойства функции  Рассмотрим график и свойства подобных функций в общем виде.

 

4. График и свойства функции

 

 

Функция

 

Все эти функции проходят через  фиксированные характерные точки (-1; 1) и (1; 1) (рис. 6).

Асимптоты: горизонтальная  и вертикальная

Свойства функции:

2. Функция четная.

3. Убывает на луче  и возрастает на луче

4. Ограничена снизу и не ограничена сверху.

5. Не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значения.

6. Непрерывна на луче  и на луче

8. Выпукла вниз на луче  и на луче

Рассмотрим взаимное расположение кривых (рис. 7).

Обе кривые проходят через две фиксированные точки:

 

5. Примеры

 

 

1. Найдите область значений функции:

 

Решение:

Если  , то y убывает,

Ответ:

Кривая сдвинута по оси xна три единицы вправо. Функциямонотонно возрастает при

Ответ:

 

6. Заключение

 

 

Мы рассмотрели функцию  На следующем уроке мы познакомимся с функциями вида  т.е. с функциями и т.д.

 

 

Список рекомендованной литературы

1. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Учеб. Для общеобразоват. Учреждений.- 4-е изд. – М.: Мнемозина, 2002.-192 с.: ил.

2. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М.: Мнемозина, 2002.-143 с.: ил.

3. Макарычев Ю. Н. Алгебра. 9 класс : учеб.для учащихся общеобразоват. учреждений / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, И. Е. Феоктистов. — 7-е изд., испр. и доп. — М.: Мнемозина, 2008.

4. Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В. Алгебра. 9 класс. 16-е изд. - М., 2011. - 287 с.

5. Мордкович А. Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. — 12-е изд., стер. — М.: 2010. — 224 с.: ил.

6. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мишустина и др.; Под ред. А. Г. Мордковича. — 12-е изд., испр. — М.: 2010.-223 с.:ил.

 

Рекомендованные ссылки на ресурсы интернет

1. Открытая математика (Источник)

2. Задачи (Источник)

3. Решу ЕГЭ (Источник)

 

Рекомендованное домашнее задание

Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М. : Мнемозина, 2002.-143 с.: ил.

№№ 332(а, в), 333(a, г), 335.