Математика

Тема 2: Числовые последовательности

Урок 3: Формула суммы n первых членов арифметической прогрессии

Видео
Тренажер
Теория

Заметили ошибку?

Тема 11.

Формула суммы n первых членов арифметической прогрессии.

Сегодня мы выведем 2 формулы для нахождения суммы первых n-членов арифметической прогрессии.

Давным-давно сказал один мудрец

Что прежде надо

Связать начало и конец

У численного ряда.

Пусть требуется найти сумму первых ста натуральных чисел:

1+2+3+…+98+99+100.

Задача очень непроста:

Как сделать, чтобы быстро

От единицы и до ста

Сложить в уме все числа?

Пять первых связок изучи,

Найдёшь к решению ключи.

С этой задачей связана история, которую рассказывают об известном немецком математике Карле Гауссе.

Когда учитель предложил ученикам сложить натуральные числа от 1 до 100, то маленький Карл моментально пришел с ответом. Вероятно, он заметил, что сумма первого и последнего слагаемого равна 101, сумма второго и предпоследнего слагаемого, тоже 101 и ничего странного в этом нет. Второе слагаемое на единицу больше первого, а предпоследнее на единицу меньше последнего, так что сумма должна быть такой же. То же будет происходить и с каждой новой парой чисел. Таких сумм 50, так как всего чисел 100 и все они разделены на пары. Значит, вся сумма равна числу 101 умноженному на 50. И Гаусс подсчитал, что сумма равна 5050.

1+2+3+4+…..+97+98+99+100

1+100=101

2+99=101

3+98=101

1+2+3+4+…+97+98+99+100=101∙50=5050

С помощью аналогичных рассуждений можно найти сумму n-первых членов арифметической прогрессии:

Обозначим сумму первых n-членов арифметической прогрессии S_n и запишем эту сумму дважды, расположив в первом случае слагаемые в порядке возрастания, а во втором в порядке убывания:

$S_{n} = a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots + a_{n - 2} + a_{n - 1} + a_{n}$ (1)

$S_{n} = a_{n} + a_{n - 1} + a_{n - 2} + \dots + a_{3} + a_{2} + a_{1}$ (2)

Сумма каждой пары членов прогрессии, расположенных друг под другом равна a₁ + a_n, число таких пар равно n, поэтому сложив почленно равенства (1) и (2), получим:

$2 S_{n} = (a_{1} + a_{n}) ∙ n$

Разделим обе части этого равенства на 2 и получим формулу суммы первых n-членов арифметической прогрессии:

$S_{n} = \frac{(a_{1} + a_{n})}{2} ∙ n$

Этой формулой удобно пользоваться, когда известны первый и последний члены арифметической прогрессии. Но можно вывести еще одну формулу, для этого вместо a_n подставим формулу n-го члена, которую мы узнали на прошлом занятии. Получим:

$S_{n} = \frac{(a_{1} + a_{n})}{2} ∙ n = \frac{a_{1} + a_{1} + d (n - 1)}{2} ∙ n$ = $\frac{2 a_{1} + d (n - 1)}{2} ∙ n$

Для нахождения суммы первых n-членов арифметической прогрессии, используя эту формулу, достаточно знать первый член и разность арифметической прогрессии.

Разберем несколько примеров:

Найдем сумму первых 10-ти членов арифметической прогрессии, первый член которой равен минус 23, а десятый член равен 4. Воспользуемся формулой: $S_{n} = \frac{(a_{1} + a_{n})}{2} ∙ n$ , получим

$S_{10} = \frac{(- 23 + 4)}{2} ∙ 10 = \frac{- 19}{2} ∙ 10 = - 19 ∙ 5 = - 95$

Рассмотрим еще один пример:

Вычислим сумму первых двадцати двух членов арифметической прогрессии:

-15; -11; -7; -3; ….

Итак, $a_{1} = - 15, d = 4$ , значит, можно воспользоваться второй формулой: $S_{n} = \frac{2 a_{1} + d (n - 1)}{2} ∙ n$ , получим:

$S_{22} = \frac{2 ∙ (- 15) + 4 ∙ (22 - 1)}{2} ∙ 22 = \frac{- 30 + 84}{2} ∙ 22 = 54 ∙ 11 = 594 .$

А теперь давай найдем сумму членов арифметической прогрессии с пятнадцатого по тридцатый включительно, если первый член равен 10 и разность равна 3.

Как найти сумму с 15-го по 30-й член включительно, давай подумаем: $S_{30} = a_{1} + a_{2} + \dots + a_{14} + a_{15} + \dots + a_{30}$ , если мы найдем сумму тридцати членов и вычтем из нее сумму первых 14-ти членов, то мы получим необходимую сумму с 15-го по 30-й члены.

Итак, $S_{30} = \frac{2 ∙ 10 + 3 ∙ 29}{2} ∙ 30 = \frac{107}{2} ∙ 30 = 107 ∙ 15 = 1605$

$S_{14} = \frac{2 ∙ 10 + 3 ∙ 13}{2} ∙ 14 = \frac{59}{2} ∙ 14 = 59 ∙ 7 = 413$

$S_{15 - 30} = S_{30} - S_{14} = 1605 - 413 = 1192$

Ответ: 1192.

Эту же сумму мы могли найти и другим, способом, если бы ввели новую арифметическую последовательность, первый член которой был бы равен пятнадцатому члену нашей прогрессии.

А теперь давай решим уравнение:

$(x + 1) + (x + 5) + (x + 9) + \dots + (x + 69) = 684$

Можно, конечно, расписать все слагаемые, привести подобные и решить это линейное уравнение, но это займет очень много времени. А если внимательно посмотреть на это уравнение, то можно заметить, что каждое следующее слагаемое отличается от предыдущего на 4. То, есть последовательность:

x + 1; x + 5; x + 9; … ; x + 69 является арифметической, сумма членов которой равна 684.

Итак, имеем: $a_{1} = x + 1, a_{2} = x + 5, a_{n} = x + 69$ , $S_{n} = 684$ .