Математика

Тема 12.

Геометрическая прогрессия.

Давай рассмотрим последовательность, членами которой являются степени числа 2 с натуральными показателями:

2; 2²; 2³; 2⁴; 2⁵; …

Каждый член этой последовательности, начиная со второго, получается умножением предыдущего члена на 2. Эта последовательность является примером геометрической последовательности.

Давай дадим определение: Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число.

Другими словами, последовательность (b_n)– геометрическая прогрессия, если для любого натурального n выполняются условия:

b_n ≠ 0 и b_n+1 = b_n⋅ q,где q – некоторое число. Значит, в последовательности натуральных степеней числа 2, для любого натурального n верно равенство b_n+1 = b_n⋅ 2, то есть q=2.

Из определения геометрической прогрессии следует, что отношение ее любого члена, начиная со второго, к предыдущему равно q, то есть $\frac{b_{n+1}}{b_n}=q$

Это равенство верно при любом натуральном n.

Число q – называют знаменателем геометрической прогрессии, который всегда отличен от 0.

Чтобы задать геометрическую прогрессию достаточно указать ее первый член и знаменатель.

Например:

Если b₁ = 2 и q = 3, то мы получим геометрическую прогрессию:

2, 6, 18, 54, …

Если и b₁ = 3 и q = -2, то мы получим геометрическую прогрессию:

3, -6, 12, -24,…

Если b₁ = 5 и q = 1, то получим геометрическую прогрессию:

5, 5, 5,…

Зная первый член и знаменатель геометрической прогрессии, можно последовательно найти второй, третий и вообще любой член прогрессии:

$b_2=b_1\bullet q$

$b_3=b_2\bullet q=b_1\bullet q\bullet q=b_1{q}^2$

$b_4=b_3\bullet q=b_1\bullet q^2\bullet q=b_1{q}^3$

Значит, чтобы найти n-ый член надо первый член умножить на знаменатель в степени на единицу меньше, то есть

${\mathit{b}}_{\mathit{n}}\mathit{=}{\mathit{b}}_{\mathit{1}}{\mathit{q}}^{\mathit{n}\mathit{-}\mathit{1}}$

Это и есть формула n-го члена геометрической прогрессии.

Рассмотрим пару примеров:

Найти девятый член геометрической прогрессии:

-2; 4; -8;…

В данном случае: $b_1=-2,\mathit{q}=\frac{4}{-2}=-2$

$b_9=b_1{q}^8=-2\bullet {\left(-2\right)}^8=-2\bullet 256=-512$

Ответ: -512

Найдите первый член геометрической прогрессии, если шестой член равен 9, а знаменатель равен 3.

$b_6=b_1\bullet q^5$

$9=b_1\bullet 3^5$

$b_1=\frac{9}{3^5}=\frac{1}{27}$

Ответ: $\frac{1}{27}$

Геометрическая прогрессия обладает следующим свойством:

Квадрат любого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, равен произведению последующего и предыдущего ее членов (произведению своих соседей)

То есть ${b_n}^2=b_{n+1}{\bullet b}_{n-1}$

Например, надо найти третий член геометрической прогрессии, если известно, что ее второй член равен 6, а четвертый – равен 24.

Давай воспользуемся этим свойством геометрической прогрессии, тогда

${b_3}^2=b_2\bullet b_4$

${b_3}^2=6\bullet 24=144$

$b_3=\pm 12$

Ответ: 12 или –12.