Математика

Тема 33

Окружность, описанная около правильного многоугольника и вписанная в правильный многоугольник.

Правильным многоугольником называется выпуклый многоугольник, у которого все углы равны и все стороны равны.

Выведем формулу для вычисления угла α_n правильного n - угольника. Сумма всех углов такого n - угольника равна (n - 2) ⋅ 180°, причем все стороны и углы равны, поэтому

${\alpha }_n=\frac{n-2}{n}\cdot {180}^{°}$

Окружность называется описанной около многоугольника, если все его вершины многоугольника лежат на этой окружности.

Теорема

Около любого правильного многоугольника можно описать окружность, и притом только одну.

Доказательство

Пусть A₁A₂A₃…A_n — правильный многоугольник, О — точка пересечения биссектрис углов A₁ и A₂

Докажем, что OA₁ = OA₂ =…= OA_n

Так как OA₁ и OA₂ – биссектрисы углов A₁ и A₂, ∠A₁ = ∠A₂, то ∠1 = ∠2 = ∠3 = ∠4, значит, ∆A₁OA₂ равнобедренный, следовательно, OA₁ = OA₂.

∆A₁OA₂ = ∆A₂OA₃ по двум сторонам и углу между ними

1. A₁A₂ = A₃A₂
2. A₂O — общая сторона
3. ∠3 = ∠4

Следовательно, OA₃ = OA₁.

Аналогично можно доказать, что OA₄ = OA₂, OA₅ = OA₃и т.д.

Итак, OA₁ = OA₂ =…= OA_n, т.е. точка O равноудалена от всех вершин многоугольника. Значит, окружность с центром O и радиусом OA₁ является описанной около многоугольника.

Докажем теперь, что описанная окружность только одна. Рассмотрим какие-нибудь три вершины многоугольника, например A₁, A₂, A₂. Так как через три точки проходит только одна окружность, то около многоугольника A₁A₂…A_n можно описать только одну окружность.

Ч.т.д

Окружность называется вписанной в многоугольник, если все стороны многоугольника касаются этой окружности

Теорема

В любой правильный многоугольник можно вписать окружность, и притом только одну.

Следствие 1

Окружность, вписанная в правильный многоугольник, касается всех сторон многоугольника в их серединах.

Следствие 2

Центр окружности, описанной около правильного многоугольника, совпадает с центром окружности, вписанной в тот же многоугольник

Эта точка называется центром правильного многоугольника.

Сколько сторон имеет правильный многоугольник, если каждый его угол равен 150°

Воспользуемся формулой ${\alpha }_n=\frac{n-2}{n}\cdot {180}^{°}$

$150°=\frac{n-2}{n}\bullet 180°$

$150n=180n-360$

$30n=360$

$n=12$

Значит, правильный многоугольник имеет 12 сторон.