Математика

Тема 34.

Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороны и радиуса вписанной окружности.

Пусть S— площадь правильного n - угольника, a_n – его сторона,

P – периметр, а r и R — радиусы вписанной и описанной окружностей. Докажем, что $S=\frac{1}{2}\mathit{Pr}$

Соединим центр данного многоугольника с его вершинами

Тогда многоугольник разобьется на n равных треугольников, площадь каждого из которых равна

$S=\frac{1}{2}{a}_{n}h$, в данном случае h = r

$S=\frac{1}{2}{a}_{n}r$

Следовательно, площадь n - угольника равна

$S=n\cdot \frac{1}{2}{a}_{n}r$

$S=\frac{1}{2}\left(n{\alpha }_n\right)r$

$S=\frac{1}{2}\mathit{Pr}$

Выведем далее формулы:

$a_n=2R\sin \frac{{180}^{°}}{n}$

$r=R\cos \frac{{180}^{°}}{n}$

Рассмотрим правильный n - угольник A₁A₂A₃…A_n, где О – центр данного многоугольника.

Рассмотрим ∆OA₁H₁

${\angle A}_1=\frac{{\alpha }_n}{2}=\frac{n-2}{2n}\cdot 180°=90°-\frac{180°}{n}$

∆OA₁H₁ – прямоугольный, следовательно

$\cos A_1=\frac{A_1{H}_1}{O{A}_1}$

OA₁= R$$$\cos A_1=\frac{A_1{H}_1}{R}$

A₁H₁ = R cos A₁

$A_1{H}_1=R\cos \left(90°-\frac{180°}{n}\right)=R\sin \frac{180°}{n}$

${a_n=A}_1{A}_2=2A_1{H}_1=2R\sin \frac{{180}^{°}}{n}$

$r=O{H}_1=O{A}_1\bullet \sin A_1=\mathit{Rsin}\left({90}^{°}-\frac{{180}^{°}}{n}\right)=\mathit{Rcos}\frac{{180}^{°}}{n}$

Далее из формулы $a_n=2R\sin \frac{{180}^{°}}{n}$ выразим стороны правильного треугольника, четырехугольника и шестиугольника. Для этого вместо n подставим числа 3,4 и 6, получим:

$a_3=2R\sin \frac{180°}{4}=2R\sin 60°=2R\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=R\sqrt{3}$

$a_4=2R\sin \frac{180°}{4}=2R\sin 45°=2R\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=R\sqrt{2,}$

$a_6=2R\sin \frac{180°}{6}=2R\sin 30°=2R\cdot \frac{1}{2}=R$

Рассмотрим пример.

Найдем площадь правильного шестиугольника, если радиус вписанной в него окружности равен 9 см.

Воспользуемся формулой: $$$S=\frac{1}{2}\mathit{Pr}$

Найдем периметр данного шестиугольника. Сторона правильного шестиугольника равна радиусу описанной окружности, то есть a₆ = R

$r=\mathit{Rcos}\frac{{180}^{°}}{n}$

$9=R\cos \frac{180°}{6}$

$9=R\cos 30°$

$9=R\frac{\sqrt{3}}{2}$

$R=9÷\frac{\sqrt{3}}{2}=9\bullet \frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{18\sqrt{3}}{3}=6\sqrt{3}$

$a_6=R=6\sqrt{3}$ см

$P=6\bullet 6\sqrt{3}=36\sqrt{3}$ см

$S=\frac{1}{2}36\sqrt{3}\bullet 9=162\sqrt{3}$ см²

Ответ :$162\sqrt{3}$ см²