Математика

Тема 35.

Длина окружности. Площадь круга и кругового сектора.

Чтобы получить наглядное представление о длине окружности, представим себе, что окружность сделана их тонкой нерастяжимой нити. Если мы разрежем нить в какой-нибудь точке А и распрямим ее, то получим отрезок AA₁, длина которого и есть длина окружности

Периметр любого правильного вписанного в окружность многоугольника является приближенным значением длины окружности. Чем больше число сторон такого многоугольника, тем точнее приближенное значение, так как многоугольник при увеличении числа сторон все ближе и ближе «прилегает» к окружности

Точное значение длины окружности – это предел, к которому стремится периметр правильного вписанного в окружность многоугольника при неограниченном увеличении числа его сторон.

Выведем формулу, выражающую длину окружности через ее радиус.

Пусть С и С' - длины окружностей радиусов R и R'

Впишем в каждую из них правильный n-угольник и обозначим через P_n и P'_n их периметры, а через a_n и a'_n их стороны. Используя формулу

$a_n=2R\mathit{sin}\frac{180°}{n}$

$P_n=n\cdot a_n$

$P_n=n\cdot 2R\mathit{sin}\frac{180°}{n}$

${P^{\text{'}}}_n=n\cdot {a^{\text{'}}}_n=n\cdot 2R^{\text{'}\mathit{sin}\frac{180°}{n}}$

$\mathrm{}\frac{P_n}{P_n^{\text{'}}}=\frac{2R}{2R\text{'}}$

Это равенство справедливо при любом значений n. Будем теперь неограниченно увеличивать число $n.$ Так как $P_n\to C,P_n^{\text{'}}\to C^{\text{'}}$ при $n\to \infty ,$то предел отношения $\frac{P_n}{P_n^{\text{'}}}$ равен $\frac{C}{C^{\text{'}}}$. С другой стороны, этот предел равен $\frac{2R}{2R^{\text{'}}}$. То есть, $\frac{C}{C^{\text{'}}}=\frac{2R}{2R^{\text{'}}}.$Из этого равенства следует, что $\frac{С}{2R}$ = $\frac{С\text{'}}{2R^{\text{'}}}$ , т.е. отношение длины окружности к ее диаметру есть одно и то же число для всех окружностей. Это число принято обозначать греческой буквой π (читается «пи»).

Из равенства $\frac{С}{2R}$ = $\pi$ получаем формулу для вычисления длины окружности радиуса R: $C=2\mathit{\pi R}$

Доказано, что $\pi$ является бесконечной непериодической десятичной дробью, т.е. иррациональным числом. Рациональное число $\frac{22}{7}$ является приближенным значением числа $\pi$ с точностью 0,002. При решении задач обычно пользуются приближенным значением $\pi$ с точностью до 0,01: π = 3,14.

Выведем теперь формулу для вычисления длины 1 дуги окружности с градусной мерой α. Так как длина всей окружности равна 2πR, то длина дуги в 1° равна

$\frac{2\mathit{\pi R}}{360°}=\frac{\mathit{\pi R}}{180}$.

Поэтому длина 1 выражается формулой

$l=\frac{\mathit{\pi R}}{180°}\bullet \alpha$

Кругом называется часть плоскости, ограниченная окружностью. Круг радиуса R c центром О содержит точку О и все точки плоскости, находящиеся от точки O на расстоянии, не большем R.

S=πR² – площадь круга.

Круговым сектором или просто сектором называется часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга.

Площадь S кругового сектора радиуса R, ограниченного дугой с градусной мерой α. Так как площадь всего круга равна πR², то площадь кругового сектора, ограниченного дугой в 1°, равна $\frac{\pi R^2}{360°}$. Поэтому площадьSвыражается формулой

$S=\frac{\pi R^2}{360°}·\mathit{\alpha }$.

Круговым сегментом или просто сегментом называется часть круга, ограниченная дугой и хордой, соединяющей концы этой дуги.

Если градусная мера дуги меньше 180°, то площадь кругового сегмента можно найти вычитая из площади сектора площадь равнобедренного треугольника, сторонами которого являются два радиуса и хорда сегмента.

Рассмотрим пример.

Из круга, радиус которого 10 см, вырезан сектор с дугой 60°. Найдем площадь оставшейся части.

Данную задачу можно решить двумя способами: из площади круга вычесть площадь кругового сектора, ограниченного дугой 60°, или найти как площадь кругового сектора, ограниченного дугой в 300°. Воспользуемся формулой

$S=\frac{\pi R^2}{360°}·\mathit{\alpha }$

$S=\frac{\pi {\bullet 10}^2}{360°}·300°=\frac{100\pi }{6}\bullet 5=\frac{500\pi }{6}\approx 262$ см²

Ответ: 262 см²