Математика

Тема 2.

Свойства функции.

Сегодня мы поговорим о свойствах функции. Давай рассмотрим график зависимости температуры воздуха Р (в °∁) от времени суток t в ч.

По графику видно, что в 3 часа и в 10 часов температура равнялась нулю, от 0 часов до 3 часов и от 10 часов до 24 часов она была выше нуля, а от 3 часов до 10 часов – ниже нуля.

Так же из графика видно, что первые 7 часов температура понижалась, затем в промежутке от 7 часов до 17 часов она повышалась, а потом опять понижалась.

На этом примере мы видим некоторые свойства функции P(t), где t-время суток в часах, а P-температура воздуха в градусах Цельсия.

На следующем графике $y=f\left(x\right)$ рассмотрим еще некоторые свойства.

Сначала выясним при каких значениях x функция обращается в ноль, принимает положительные и отрицательные значения.

Найдем точки пересечения графика с осью x.

По графику видно, что функция принимает значение, равное нулю при x = -2 и x = 6. Эти значения аргумента, при которых функция обращается в ноль, называют нулями функции, то есть числа -2 и 6 – нули функции, которую мы рассматриваем.

Нули функции разбивают область определения функции [-4; 7] на три промежутка: [-4; -2), (-2; 6) и (6;7].

Для значений x из промежутка (-2; 6) все точки графика расположены выше оси x, значит, функция принимает положительные значения. А для значения x из промежутков [-4; -2) и [6; 7) точки графика расположены ниже оси x, значит, функция принимает отрицательные значения. Промежутки, на которых функция сохраняет свой знак называют промежутками знакопостоянства.

А теперь посмотрим, как меняются значения функции с изменением x от -4 до 7?

По графику видно, что с увеличением x от -4 до 4 значения функции, то есть y увеличиваются, а с увеличением x от 4 до 7 значения y уменьшаются.

В таких случаях говорят, что в промежутке е [-4; 4] функция $y=f\left(x\right)$ является возрастающей, а в промежутке [4; 7] – убывающей.

Определение:

Функция называется возрастающей в некотором промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции;

Функция называется убывающей в некотором промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции;

Если функция возрастает на всей области определения, то ее называют возрастающей, если убывает – убывающей.

Рассмотрим линейную функцию, которая тебе знакома из курса 7 класса. Например, перечислим свойства функции y = 2x + 1

1. при $x=-\frac{1}{2}$ $y=0$;
2. при $x\in \left(-\frac{1}{2};+\infty \right)$ $y>0$
3. при $x\in \left(-\infty ;-\frac{1}{2}\right)$ $y<0$
4. функция возрастающая