Математика

Тема 3.

Квадратный трёхчлен и его корни. Разложение квадратного трехчлена на множители.

Квадратный трёхчлен — это многочлен вида ax² + bx + c, где x — переменная, a, b, c — некоторые числа, причем a ≠ 0.

Если x = 2, то 2x² - 5x - 3 = 2 ∙ 2² - 5 ∙ 2 - 3 = -5

Если x = -5, то 2x² - 5x - 3 = 2 ∙ (-5)² - 5 ∙ (-5) - 3 = 72

Если x = 3, то 2x² - 5x - 3 = 2 ∙ 3² - 5 ∙ 3 - 3 = 0

Корень квадратного трёхчлена – это значение переменной, при котором значение квадратного трёхчлена равно 0.

Чтобы найти корни квадратного трёхчлена ax² + bx + c, необходимо решить квадратное уравнение ax² + bx + c = 0.

2x² - 5x - 3 = 0

D = 25 - 4 ∙ 2 ∙ -3 = 49

$x_1=\frac{5+7}{4}=3$

$x_1=\frac{5-7}{4}=-0,5$

Ответ: -0,5; 3

Количество корней зависит от дискриминанта.

Если D > 0, то квадратный трехчлен имеет 2 корня;

Если D = 0, то квадратный трехчлен имеет 1 корень;

Если же D < 0, то квадратный трехчлен не имеет корней.

При решении задач иногда удобно выделить квадрат двучлена из квадратного трехчлена.

Например, выделим квадрат двучлена из квадратного трехчлена x² – 6x – 2.

Вспомним формулы сокращенного умножения:

1. ${\left(a+b\right)}^2=a^2+2\mathit{ab}+b^2$
2. ${\left(a-b\right)}^2=a^2-2\mathit{ab}+b^2$

$x^2-6x-2=x^2-6x+9-9-2={\left(x-3\right)}^2-11\mathrm{}$

При решении уравнений, неравенств удобно, когда квадратный трёхчлен представлен в виде произведения множителей, например

$-2x^2+14x-20=-2\left(x^2-7x+10\right)=-2\left(x^2-2x-5x+10\right)=-2\left(x\left(x-2\right)-5\left(x-2\right)\right)=-2\left(x-2\right)\left(x-5\right)$

х = 2 и х = 5 – корни квадратного трехчлена.

Таким образом, ${\mathit{ax}}^2+\mathit{bx}+c=a\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)$,

где x₁, x₂- корни квадратного трехчлена ax² + bx + c.

Разложить на множители ${3x}^2+5x-2$

${3x}^2+5x-2=0$

$D=5^2-4\bullet 3\bullet \left(-2\right)=49$

$x_1=\frac{-5+7}{6}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$

$x_2=\frac{-5-7}{6}=\frac{-12}{6}=-2$

${3x}^2+5x-2=3\left(x-\frac{1}{3}\right)\left(x-\left(-2\right)\right)$

${3x}^2+5x-2=\left(3x-1\right)\left(x+2\right)$