Математика

Тема 25.

Умножение вектора на число.

На прошлом занятии мы научились складывать и вычитать векторы. Сегодня введем еще одно действие – умножение вектора на число.

Представим себе, что один автомобиль движется прямолинейно с постоянной скоростью, второй автомобиль движется в том же направлении со скоростью, вдвое большей, а третий автомобиль движется им навстречу, т.е. в противоположном направлении, и величина его скорости такая же, как у второго автомобиля. Если мы изобразим скорость первого автомобиля вектором $\vec{v}$, то естественно изобразить скорость второго автомобиля вектором, у которого направление вектора такое же, как у вектора $\vec{v}$, а длина в два раза больше, и обозначить этот вектор 2$\vec{v}$. Скорость третьего автомобиля изобразится вектором, противоположным вектору 2$\vec{v}$, то есть вектором $\overrightarrow{-2v}$. Естественно считать, что вектор 2$\vec{v}$ получается умножением вектора $\vec{v}$ на число $2$, а вектор $\overrightarrow{-2v}$ получается умножением вектора $\vec{v}$ на число $-2$. Этот пример подсказывает, каким образом следует ввести умножение вектора на число.

Произведением ненулевого вектора $\vec{\mathit{a}}$ на число k называется такой вектор $\vec{b}$, длина которого равна $\left|k\right|\cdot \left|\vec{a}\right|$, причем векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ сонаправлены при $k\ge 0$ и противоположно направлены при $k<0$.

Произведением нулевого вектора на любое число считается нулевой вектор.

Произведение вектора $\vec{a}$ на число k обозначается так: k$\vec{a}$.

Из определения произведения вектора на число непосредственно следует, что

1. произведение любого вектора на число ноль есть нулевой вектор;
2. для любого числа k и любого вектора $\vec{\mathit{a}}$ векторы $\vec{\mathit{a}}$ и $\mathit{k}\vec{\mathit{a}}$ коллинеарны.

Умножение вектора на число обладает следующими основными свойствами:

Для любых чисел k, l и любых векторов $\vec{\mathit{a}}$, $\vec{\mathit{b}}$ справедливы равенства:

1⁰. $\mathit{\left(}\mathit{kl}\mathit{\right)}\vec{\mathit{a}}\mathit{=}\mathit{k}\mathit{\left(}\mathit{l}\vec{\mathit{a}}\mathit{\right)}$ (сочетательный закон).

2⁰. $\mathit{(}\mathit{k}\mathit{+}\mathit{l}\mathit{)}\vec{\mathit{a}}\mathit{=}\mathit{k}\vec{\mathit{a}}\mathit{+}\mathit{l}\vec{\mathit{a}}$ (первый распределительный закон).

3⁰. $\mathit{k}\mathit{(}\vec{\mathit{a}}\mathit{+}\vec{\mathit{b}}\mathit{)}\mathit{=}\mathit{k}\vec{\mathit{a}}\mathit{+}\mathit{k}\vec{\mathit{b}}$ (второй распределительный закон).

Замечание

Рассмотренные нами свойства действий над векторами позволяют в выражениях, содержащий суммы, разности векторов и произведения векторов на числа, выполнять преобразования по тем же правилам, что и в числовых выражениях. Например, выражение

$\vec{p}=2\left(\vec{a}\mathit{–;}\vec{b}\right)+(\vec{c}+\vec{a})\mathit{–}3(\vec{b}\mathit{–}\vec{c}+\vec{a})$

можно преобразовать так:

$\vec{p}=2\mathit{a }⃗\mathit{–}2\mathit{b }⃗+\mathit{c }⃗+\mathit{a }⃗\mathit{–}3\mathit{b }⃗+3\mathit{c }⃗\mathit{–}3\mathit{a }⃗=-5\mathit{b }⃗\mathit{}+4\mathit{c }⃗\mathrm{}$

Векторы могут использоваться для решения геометрических задач и доказательства теорем.

Рассмотрим задачу.

Точка С — середина отрезка AB, а O — произвольная точка плоскости. Доказать, что $\overrightarrow{\mathit{OC}}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{\mathit{OA}}+\overrightarrow{\mathit{OB}}\right)$

По правилу треугольника

$\overrightarrow{\mathit{OC}}=\left(\overrightarrow{\mathit{OA}}+\overrightarrow{\mathit{АС}}\right)$, с другой стороны

$\overrightarrow{\mathit{OC}}=\overrightarrow{\mathit{OB}}+\overrightarrow{\mathit{BC}}$.

Складывая эти равенства, получим:

$\overrightarrow{2\mathit{OC}}=\overrightarrow{\mathit{OA}}+\overrightarrow{\mathit{OB}}+\left(\overrightarrow{\mathit{AC}}+\overrightarrow{\mathit{BC}}\right)$.

Так как точка C — середина отрезка AB, то $\overrightarrow{\mathit{AC}}$ + $\overrightarrow{\mathit{BC}}$ = $\vec{0}$.

Таким образом, $\overrightarrow{2\mathit{OC}}=\overrightarrow{\mathit{OA}}+\overrightarrow{\mathit{OB}}$, значит

$\overrightarrow{\mathit{OC}}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{\mathit{OA}}+\overrightarrow{\mathit{OB}}\right)$.

ч.т.д.

Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины ее боковых сторон.

Теорема

Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Доказательство

Пусть MN — средняя линия трапеции ABCD.

Докажем, что

$\mathit{MN}\mathrm{//}\mathit{AD}$ и $\mathit{MN}=\frac{\mathit{AD}+\mathit{BC}}{2}$.

По правилу многоугольника

$\overrightarrow{\mathit{MN}}=\overrightarrow{\mathit{MB}}+\overrightarrow{\mathit{BC}}+\overrightarrow{\mathit{CN}}$ и

$\overrightarrow{\mathit{MN}}=\overrightarrow{\mathit{MA}}+\overrightarrow{\mathit{AD}}+\overrightarrow{\mathit{DN}}$. Сложим эти равенства и получим:

$2\overrightarrow{\mathit{MN}}=(\overrightarrow{\mathit{MB}}+\overrightarrow{\mathit{MA}})+(\overrightarrow{\mathit{BC}}+\overrightarrow{\mathit{AD}})+(\overrightarrow{\mathit{CN}}+\overrightarrow{\mathit{DN}})$.

Но M и N— середины сторон AB и CD, поэтому

$\overrightarrow{\mathit{MB}}+\overrightarrow{\mathit{MA}}=\vec{0}$ и $\overrightarrow{\mathit{CN}}+\overrightarrow{\mathit{DN}}=\vec{0}$.

Следовательно, $2\overrightarrow{\mathit{MN}}=\overrightarrow{\mathit{AD}}+\overrightarrow{\mathit{BC}}$, откуда

$\overrightarrow{\mathit{MN}}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{\mathit{AD}}+\overrightarrow{\mathit{BC}}\right)\mathrm{}$Так как векторы $\overrightarrow{\mathit{AD}}$ и $\overrightarrow{\mathit{BC}}$ сонаправлены, то векторы $\overrightarrow{\mathit{MN}}$ и $\overrightarrow{\mathit{AD}}$ также сонаправлены, а длина вектора ($\overrightarrow{\mathit{AD}}+$$\overrightarrow{\mathit{BC}}$) равна AD + BC.

Отсюда следует, что

MN $\mathrm{//}$ AD и $\mathit{MN}=\frac{\mathit{AD}+\mathit{BC}}{2}$.