Математика

 

Координаты вектора. Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам.

Если векторы $\vec{a}\mathit{}$ и $\vec{b}$ коллинеарны и $\vec{a}\ne \vec{0}$, то существует такое число k, что $\vec{b}=k\vec{a}$.

Пусть $\vec{a}$ и $\vec{b}$ – два данных вектора. Если вектор $p$ представлен в виде $\vec{p}=x\vec{a}+y\vec{b}$, где x и y – некоторые числа, то говорят, что вектор $\vec{\mathit{p}}$ разложен по векторам $\vec{a}\mathit{}$ и $\vec{b}$. Числа x и y называются коэффициентами разложения.

Теорема

На плоскости любой вектор можно разложить по двум данным неколлинеарным векторам, причем коэффициенты разложения определяются единственным образом.

Напомню, что для задания прямоугольной системы координат нужно провести две взаимно перпендикулярные прямые, на каждой из них выбрать направление (оно обозначается стрелкой) и выбрать единицу измерения отрезков. При выбранной единице измерения отрезков длина каждого отрезка выражается положительным числом.

В дальнейшем под длиной отрезка мы будем понимать это число.

 

 

Отложим от начала координат $O$ единичные векторы (т.е. векторы, длины которых равны единице) $\vec{i}$ и $\vec{j}$ так, чтобы направление вектора $\vec{i}$совпало с напралением оси Ox, а направление вектора $\vec{j}$ – с направлением оси Oy. Векторы $\vec{i}$ и $\vec{j}$ назовем координатными векторами.

Координатные векторы не коллинеарны, поэтому любой вектор $\vec{p}$ можно разложить по координатным векторам, т.е. представить в виде $\vec{p}=x\vec{i}+y\vec{j}$, причем коэффициенты разложения (числа x и y) определяются единственным образом. Коэффициенты разложения вектора $\vec{p}$ по координатным векторамназываются координатными векторами$\vec{p}$ в данной системе координат. Координаты вектора будем записывать в фигурных скобках после обозначения вектора: $\vec{p}\{x;y\}$.

Так как нулевой вектор можно представить в виде $\vec{0}=0\text{.}\vec{i}+0$^.$\vec{j}$, то его координаты равны нулю: $\vec{0}\{0;0\}$. Если векторы $\vec{a}=x\text{1}\vec{i}+y\text{1}\vec{j}$ и $\vec{b}=\mathit{x}$₂$\vec{i}+y$₂$\vec{j}$ равны, то x₁ = x₂ и y₁ = y₃. Таким образом, координаты равных векторов соответственно равны.

Рассмотрим правила, позволяющие по координатам векторов находить координаты их суммы, разности и произведения вектора на число.

1. Каждая координата суммы двух или более векторов равна сумме соответствующих координат этих векторов.

   Докажем это утверждение для двух векторов. Рассмотрим векторы $a\{x_1;y_1\}$ и $b\{x_2;y_2\}.$ Так как $\vec{a}=x\text{1}\vec{i}+y\text{1}\vec{j}$ и $\mathit{b }\mathit{⃗}=x_2\vec{i} \mathit{}+y_2\vec{j}$,то, пользуясь свойствами сложения векторов и умножения вектора на число, получим:

   $\vec{a}+\vec{b}=x$₁$\vec{i}+y$₁$\vec{j}+x$₂$\vec{i}+y$₂$\vec{j}$$=(x$₁$+x$₂$)\vec{i}+(y$₁$+y$₂$)\vec{j}$ .

   Следовательно, что координаты вектора $\vec{a}+\vec{b}$ равны {$x\text{1}+x\text{2};$ $y\text{1}+y\text{2}\}.$

   Аналогично доказывается следующее утверждение:

2. Каждая координата разности двух или более векторов равна разности соответствующих координат этих векторов.

   Иными словами, если $\vec{a}\{x$₁$;y$₁$\}$ и $\vec{b}\{x$₂$;y$₂$\}$ – данные векторы, то вектор $\vec{a}–\vec{b}\mathit{}$ имеет координаты {$x\text{1}-x\text{2};$$y\text{1}-y\text{2}\}.$

3. Каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей координаты вектора на это число.

   В самом деле, пусть вектор $\vec{a}$ имеет координаты $\{x;y\}$. Найдем координаты вектора $k\vec{a}$, где$k$ – произвольное число. Так как $\vec{a}=x\vec{i}+y\vec{j}$, то $\mathit{kx}\vec{i}+\mathit{ky}\vec{j}$. Отсюда следует, что координаты вектора $k\vec{a}$ равны $\{\mathit{kx};\mathit{ky}\}$.

   Рассмотренные правила позволяют определить координаты любого вектора, представленного в виде алгебраической суммы данных векторов с известными координатами.

   Найти координаты вектора $\vec{a}+\vec{b},$если $\vec{\mathit{a}}\{3;2\},\vec{b}\{2;5\}$

   Чтобы найти координаты вектора суммы, надо сложить соответствующие координаты данных векторов, получим:

   $\vec{a}+\vec{b}$ имеет координаты {3 + 2; 2 + 5}, то есть {5; 7}

   Найти координаты вектора $2\vec{a},$ если $\vec{a}\{3;2\}$

   Значит, вектор $2\vec{a}$ имеет координаты {2 ⋅ 3; 2 ⋅ 2}, то есть {6;4}

Итак, сегодня мы узнали, что любой вектор можно разложить по двум неколлинеарным векторам, ввели понятие координат вектора и рассмотрели правила, позволяющие находить координаты суммы, разности векторов, и произведения вектора на число. А в следующий раз мы найдем связь между координатами вектора и координатами его начала и конца.