Математика

Тема 27.

Связь между координатами вектора и координатами его начала и конца.

Ты уже знаком с понятием координат вектора. Ими называют коэффициенты разложения данного вектора по единичным координатным векторам $\vec{i}$ и $\vec{j}$.

Сегодня мы ответим на вопрос «Как связаны координаты вектора с координатами его начала и конца?».

Но для начала вернёмся к координатам точки в прямоугольной системе координат.

Напомним, что для их определения нужно опустить перпендикуляры из данной точки к осям.

Точки пересечения данных прямых с осями обозначим как M₁ и M₂.

Абсциссой точки М является число x, которое является длиной отрезка OM₁. А ординатой — число y, которое является длиной отрезка OM₂.

M(x; y) x = OM₁, y = OM₂

Мы вспомнили, как определять координаты точек, а теперь вернёмся к общему случаю и, уже рассмотренной, точке M.

Проведём вектор из точки O к точке M. Запомни, вектор $\overrightarrow{\mathit{OM}}$ называют радиус-вектором точки M.

Сейчас докажем следующее утверждение: координаты точки M равны соответствующим координатам её радиус-вектора.

Доказать: $M(x;y$)=$\overrightarrow{\mathit{OM}}\left\{x;y\right\}$

Понятно, что вектор $\overrightarrow{\mathit{OM}}=\overrightarrow{ОM_1}+\overrightarrow{ОM_2}$ по правилу параллелограмма.

Теперь необходимо доказать, что вектор

$\overrightarrow{O{M}_1}=x\vec{i}$, а вектор $\overrightarrow{O{M}_2}=y\vec{j}$

Тем самым мы докажем, что вектор $\overrightarrow{\mathit{OM}}\left\{x;y\right\}$.

Если x > 0, то x = OM₁, а векторы $\overrightarrow{O{M}_1}$ и $\vec{i}$ сонаправлены, поэтому

$\overrightarrow{O{M}_1}=O{M}_1\bullet \vec{i}=x\vec{i}$

Если x < 0, то -x = OM₁, а векторы $\overrightarrow{O{M}_1}$ и $\vec{i}$ противоположно направлены. Поэтому $\overrightarrow{O{M}_1}=-O{M}_1\bullet \vec{i}=x\vec{i}$.

Наконец, если x = 0

$\overrightarrow{O{M}_1}=\vec{0}$ и равенство $O{M}_1=x\vec{i}$ в этом случае так же справедливо. Таким образом, в любом случае $\overrightarrow{ОM_1}=x\vec{i}$. Аналогично доказывается, что $\overrightarrow{ОM_2}=y\vec{j}$.

Следовательно,$\overrightarrow{\mathit{OM}}=\overrightarrow{ОM_1}+\overrightarrow{ОM_2}=x\vec{i}+y\vec{j}$

Отсюда следует, что координаты радиус-вектора OM равны (x; y), то есть равны соответствующим координатам точки M.

Пользуясь доказанным утверждением, выразим координаты вектора $\overrightarrow{\mathit{AB}}$ через координаты его начала A и конца B. Пусть точка A имеет координаты $\left(x_1;y_1\right)$, а точка B – координаты $\left(x_2;y_2\right)$.

Вектор $\overrightarrow{\mathit{AB}}$ равен разности векторов $\overrightarrow{\mathit{OB}}$ и $\overrightarrow{\mathit{OA}}$, поэтому его координаты равны разностям соответствующих координат векторов $\overrightarrow{\mathit{OB}}$ и $\overrightarrow{\mathit{OA}}$. Но $\overrightarrow{\mathit{OB}}$ и $\overrightarrow{\mathit{OA}}$ – радиус-векторы точек B и A, и, значит, $\overrightarrow{\mathit{OB}}$ имеет координаты $\left\{x_2;y_2\right\}$, а $\overrightarrow{\mathit{OA}}$ имеет координаты $\left\{x_1;y_1\right\}$. Следовательно, вектор $\overrightarrow{\mathit{AB}}$ имеет координаты $\left\{x_2-x_1;{y_2-y}_1\right\}$.

Таким образом, каждая координата вектора равна разности соответствующих координат его конца и начала.

Введение системы координат дает возможность изучать геометрические фигуры и их свойства с помощью уравнений и неравенств и, таким образом, использовать в геометрии методы алгебры. Такой подход к изучению свойств геометрических фигур называется методом координат.

Рассмотрим три вспомогательные задачи:

1. Как найти координаты середины отрезка.

   Пусть в системе координат $\mathit{Oxy}$ точка A имеет координаты $\left(x_1;y_1\right)$, а точка B – координаты $\left(x_2;y_2\right)$. Выразим координаты $\left(x;y\right)$ середины C отрезка AB через координаты его концов. Так как точка C – середина отрезка AB, то

   $\overrightarrow{\mathit{OC}}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{\mathit{OA}}+\overrightarrow{\mathit{OB}}\right).$

   $x=\frac{x_1+x_2}{2}$; $y=\frac{y_1+y_2}{2}$

   Таким образом, каждая координата середины отрезка равна полусумме соответствующих координат его концов.

2. Вычисление длины вектора по его координатам.

   Пусть вектор $\vec{a}\left\{x;y\right\}$, тогда длина вектора вычисляется по формуле:

   $\left|\vec{a}\right|=\sqrt{x^2+y^2}$

3. Вычисление расстояния между двумя точками. Пусть точка M₁ имеет координаты (x₁; y₁), точка M₂ – координаты (x₂; y₂). Выразим расстояние d между точками M₁ и M₂ через их координаты.

Рассмотрим вектор $\overrightarrow{M_1{M}_2}$. Его координаты равны $\left\{x_2-x_1;y_2-y_1\right\}$. Следовательно, длина этого вектора может быть найдена по формуле:

$\left|\overrightarrow{M_1{M}_2}\right|=\sqrt{{\left(x_2-x_1\right)}^2+{\left(y_2-y_1\right)}^2}$

Пример:

1. Найти длину вектора $\vec{a}\left\{-3;4\right\}$

   $\left|\vec{a}\right|=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{{\left(-3\right)}^2+4^2}=\sqrt{25}=5$

   Ответ: 5

2. Найти расстояние между точкой A(2; 7) и точкой B(-2; 7)

   $d=\sqrt{{\left(-2-2\right)}^2+{\left(7-7\right)}^2}=\sqrt{16}=4$

   Ответ: 4