Математика
Тема 14: Метод координат. Профильный уровеньУрок 12: Уравнение прямой
- Теория
Выведение уравнения прямой
Для выведения уравнения прямой проведем эту прямую как серединный перпендикуляр к некоторому отрезку с данными координатами конечных точек отрезка.
Все точки серединного перпендикуляра находятся на равных расстояниях от концов отрезка.
Рис. 1. Серединный перпендикуляр к отрезку
Пусть 
– это произвольная точка на прямой 
(см. Рис. 1), которая является серединным перпендикуляром к отрезку 
(точка 
имеет координаты 
, точка 
имеет координаты 
). Тогда 
, отсюда следует, что 
, то есть справедливо равенство:
- это равенство и есть уравнением прямой.
Возведем в квадрат выражения в скобках и приведем подобные слагаемые:
Введем новые обозначения:
Следовательно, уравнение прямой будет иметь следующий вид:
Уравнение вертикальной прямой
– уравнение вертикальной прямой
На рис. 2 изображены вертикальные прямые, уравнение которых выглядят следующим образом:
а) 
. Это означает, что все точки на этой прямой имеют координату 
.
б) 
. Это означает, что все точки на этой прямой имеют координату 
.
в) 
. Это означает, что все точки на этой прямой имеют координату 
, то есть это уравнение оси 
.
Рис. 2. Вертикальные прямые
Уравнение горизонтальной прямой
– уравнение горизонтальной прямой
На рис. 3 изображены горизонтальные прямые, уравнения которых выглядят следующим образом:
а) 
. Это означает, что все точки на этой прямой имеют координату 
.
б) 
. Это означает, что все точки на этой прямой имеют координату 
.
в) 
. Это означает, что все точки на этой прямой имеют координату 
, то есть это уравнение оси 
.
Рис. 3. Горизонтальные прямые
Уравнение наклонной прямой к оси 
(
)
Введем новые обозначения:
Таким образом, уравнение наклонной к оси прямой выглядит следующим образом:
, где
– угловой коэффициент (если 
, то функция возрастает, если 
– убывает);
– ордината точки пересечения прямой с осью .
Примеры
1. Дано уравнение прямой: 
.
В этом случае 
; 
. Следовательно, данная функция возрастает, прямая пересекает ось 
в точке с координатами 
(см. Рис. 4).
Рис. 4. Прямая
2. Дано уравнение прямой: 
.
В этом случае 
; . Следовательно, данная функция убывает, прямая пересекает ось в точке с координатами (см. Рис. 5).
Рис. 5. Прямая
Условия параллельности и перпендикулярности наклонных прямых
Даны две прямые:
1. Данные прямые будут параллельными, если выполняются следующие условия:
То есть эти прямые должны быть наклонены под одним углом к оси , но проходить через разные точки на оси .
2. Данные прямые будут перпендикулярными, если выполняется следующее условие:
Уравнение прямой, проходящей через заданную точку
Дана точка 
с координатами 
. Уравнение наклонной прямой: 
, следовательно, условие того, что точка лежит на прямой, – это 
.
– уравнение любой наклонной прямой, проходящей через точку 
.
Задавая коэффициент , можно выбрать конкретную прямую, проходящую через точку.
Задача 1
Дано: прямая ; точка 
.
Найти: а) уравнение прямой, которая проходит через точку 
и параллельна заданной прямой; б) уравнение прямой, которая проходит через точку и перпендикулярна заданной прямой.
Решение
Все наклонные прямые, которые проходят через точку , имеют уравнение:
1. Угловые коэффициенты параллельных прямых равны. Поэтому уравнение прямой, проходящей через точку и параллельной заданной прямой, имеет угловой коэффициент . Следовательно, уравнение такой прямой имеет следующий вид:
2. Произведение угловых коэффициентов перпендикулярных прямых равно 
. Следовательно, угловой коэффициент прямой, перпендикулярной
, равен:
Подставляем данный коэффициент в уравнение прямых, проходящих через точку :
Ответ: а) ; б) .
Задача 2
Дано: точка 
; точка 
.
Найти: уравнение прямой и точки ее пересечения с осями координат.
Решение
Уравнение прямой имеет вид:
Необходимо определить числа 
, 
, 
. Подставим координаты точек и в уравнение прямой, получим систему из двух уравнений:
Решим эту систему, выразив и через :
Подставим это значение в равенство
:
Найденные значения и подставляем в общее выражение прямой:
При 
разделим это выражение на и умножим на 
:
Мы получили уравнение прямой, которая проходит через две данные точки ( и ). Запишем это уравнение в таком виде:
Это уравнение наклонной прямой, которая имеет угловой коэффициент и пересекает ось в точке с координатой (на рисунке 6 точка ).
Определим координаты точки пересечения прямой с осью , для этого приравняем к нулю 
:
Следовательно, координаты точки пересечения прямой с осью – 
(на рисунке 6 точка 
).
Рис. 6. Иллюстрация к задаче
Ответ: ; 
; 
.
Задача 3
Дано: точка 
; точка 
.
Найти: уравнение серединного перпендикуляра к отрезку .
Рис. 7. Иллюстрация к задаче
Решение
Пусть (см. Рис. 7) – это произвольная точка на серединном перпендикуляре к отрезку . Тогда , отсюда следует, что , то есть справедливо равенство:
Подставим в данное равенство соответствующие координаты:
Разделим обе части уравнения на 4 и получим искомое уравнение серединного перпендикуляра:
Ответ: .
Уравнение прямой в отрезках
Пусть – уравнение наклонной прямой, которая пересекает оси и в точках 
и 
. Тогда уравнение этой прямой можно представить в виде:
Такое уравнение называется уравнением прямой в отрезках. В данном случае отрезок 
, а отрезок 
.
Выведем данное уравнение.
Дано: точка ; точка ; 
, 
(прямая не пересекает начало координат) (см. Рис. 8).
Требуется: вывести уравнение прямой 
.
Решение
Рис. 8. Иллюстрация к доказательству
Прямая – это наклонная прямая, следовательно, ее уравнение записывается в виде .
Необходимо найти коэффициент и свободный член . Для этого подставляем координаты точек и , лежащих на прямой, в уравнение наклонной прямой:
Подставляем полученные значения в уравнение наклонной прямой:
Обе части уравнения умножаем на :
Обе части уравнения делим на произведение 
:
Мы получили уравнение прямой в отрезках:
Пример
Дано: точка 
; точка 
.
Найти: уравнение прямой .
Решение
Уравнение прямой в отрезках выглядит следующим образом:
В данном случае: 
; 
. Подставляем эти значения в уравнение:
Ответ: .
Задача типа С5 из ЕГЭ по математике
Найдите значение параметра , при котором система неравенств имеет единственное решение.
Решение
1. Рассмотрим первое неравенство.
Неравенство 
задает круг с центром в точке 
и радиуса 
(см. Рис. 9).
Координаты точки зависят от параметра: 
.
Радиус также зависит от параметра: 
.
Обе части этого неравенства неотрицательны, следовательно, его можно возвести в квадрат:
Рис. 9. Иллюстрация к задаче
2. Рассмотрим второе неравенство.
Неравенство 
задает полуплоскость под прямой 
, так как:
Эта полуплоскость фиксированна, не зависит от параметра .
3. Необходимо расположить круг так, чтобы он находился над прямой и касался ее. Общая точка прямой и окружности находится из системы:
Подставим значение 
в первое уравнение:
Сделаем замену:
Тогда:
Нам требуется единственность решения данного уравнения, следовательно, его дискриминант должен быть равен нулю.
Так как , то:
Выполним проверку этих значений параметра .
а) Если 
, то координаты центра окружности равны 
. Подставим координату в уравнение прямой и сравним получившееся значение со второй координатой центра окружности:
Следовательно, точка 
лежит над прямой , и значение нам подходит.
б) Можно выполнить проверку другим способом.
Если 
, то координаты центра окружности равны 
.
Подставим значения и в неравенство :
– неверно, следовательно, точка 
также не лежит в полуплоскости, задаваемой неравенством .
Таким образом, искомые значения параметра равны: , .
Ответ: , .
Уравнение прямой, проходящей через две точки. Первый способ вывода
Ранее мы вывели общее уравнение прямой, проходящей через две точки:
Выведем уравнение наклонной прямой, проходящей через две точки.
Дано: точки 
и 
на наклонной прямой 
(см. Рис. 10).
Требуется: вывести уравнение наклонной прямой .
Рис. 10. Наклонная прямая, проходящая через две точки
Решение
Выберем произвольную точку , находящуюся на прямой . Вектор 
коллинеарен вектору 
(см. Рис. 10), следовательно:
В координатном виде это выглядит следующим образом:
Векторное равенство дает систему из двух уравнений:
Это и есть уравнение наклонной прямой, проходящей через две точки, при 
.
Ответ: 
.
Если 
, то это вертикальная прямая.
Если 
, то это горизонтальная прямая.
Пример
Даны две точки 
, 
. Написать уравнение наклонной прямой, проходящей через эти точки.
Решение
Уравнение наклонной прямой, проходящей через две точки, в общем виде выглядит следующем образом:
Подставляем значение координат данных в условии точек в уравнение:
В итоге мы получили уравнение прямой в отрезках.
Уравнение прямой, проходящей через две точки. Второй способ вывода
Дано: точки и на наклонной прямой (см. Рис. 11).
Требуется: вывести уравнение наклонной прямой .
Рис. 11. Наклонная прямая, проходящая через две точки
Решение
Подставляем координаты первой точки в уравнение наклонной прямой:
Получаем систему уравнений:
Вычтем из первого уравнения второе:
Необходимо найти , для этого подставляем координаты двух точек в уравнение наклонной прямой:
Вычтем из первого уравнения второе:
Следовательно:
Ответ: , где 
и 
.
Список литературы
1. Атанасян Л.С. и др. Геометрия 7–9 классы. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2010.
2. Фарков А.В. Тесты по геометрии: 9 класс. К учебнику Л.С. Атанасяна и др. – М.: Экзамен, 2010.
3. Погорелов А.В. Геометрия, уч. для 7–11 кл. общеобр. учрежд. – М.: Просвещение, 1995.
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
1. Интернет-сайт mathprofi.ru (Источник)
2. Интернет-сайт mathelp.spb.ru (Источник)
3. Интернет-сайт YouTube (Источник)
Домашнее задание
1. Задачи 972, 977, 982 – Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. Геометрия, 7-9 (Источник)
2. Докажите, что прямые, заданные уравнениями 
и 
, параллельны.
3. Составить уравнение прямой, проходящей через точки 
, 
.
