Математика

Определение рационального неравенства

 

Определение. Рациональные неравенства с одной переменной – это неравенства вида  где  – рациональное выражение, т.е. выражение, составленное из чисел, степеней с помощью арифметических операций.

 

 

Знакомство с методом интервалов на примере

 

 

Эффективным методом решения рациональных неравенств является метод интервалов. Изложим его на примере.

 

1. Решить неравенство:

До сих пор мы рассматривали линейные и квадратные неравенства, в данном случае имеем произведение трех скобок.

Рассмотрим функцию

Изучим свойства этой функции, из которых вытекает решение неравенства.

1. Область определения: .

2. Корни или нули функции:  Эти числа являются корнями каждого множителя.

3. Интервалы знакопостоянства. Нанесем все точки, в которых функция может изменять знак, на ось ox (Рис. 1).

4. Определим знак функции на каждом интервале. Рассмотрим два способа.

I. Метод пробной точки - будем находить значения функции в удобной точке каждого интервала.

Рассмотрим точку из интервала

В точке (5) функция положительна, значит и в остальных точках этого интервала функция положительна. По знаку функции в одной точке мы заключаем, что и в остальных точках этого интервала функция имеет тот же знак.

Рассмотрим точку из интервала 

Аналогично действуя, можно найти знак функции на каждом интервале.

Иногда интервалы бывают настолько малы, что найти пробную точку в каждом из них затруднительно. Тогда можно использовать табличный способ

II. Табличный способ.

Выпишем все значения, которые может принимать x.Также выпишем все множители и определим знак каждого множителя. Знак функции y определяем, уже зная знаки всех сомножителей.

x				2	(2;4)	4
	-	-	-	-	-	0	+
	-	-	-	0	+	+	+
	-	0	+	+	+	+	+
	-	0	+	0	-	0	+

Таким образом, мы определили знаки функции на каждом интервале.

5. Проверим граничные точки и выпишем ответ.

Ответ:

Мы изложили метод интервалов для конкретной функции.

Мы рассматриваем функцию и изучаем ее свойства – область определения, интервалы знакопостоянства, знаки функции на каждом интервале.

Аналогично решается неравенство  

Запишем ответ в виде неравенства:

Граничные точки включаем, т.к. неравенство нестрогое.

 

Построение эскиза графика функции

 

 

Рассмотрим одну из сопутствующих задач: Построим эскиз графика рассмотренной функции (Рис. 2).

 

Мы знаем, что кривая  будет проходить через все нули функции. Далее нам существенно помогут интервалы знакопостоянства. Например, мы знаем, что в окрестности точки -2 функция меняет свой знак с минуса на плюс, значит, в этом промежутке график проходит снизу вверх, функция возрастает. В окрестности точки 2 знак функции меняется с плюса на минус, значит, график идет вниз, функция убывает. В окрестности точки 4 функция также возрастает, и стремится к  т.к. если  Аналогично слева от точки -2  

Метод интервалов позволяет решать не только неравенства, но и сопутствующие задачи.

При решении неравенств возможны типовые ошибки. Укажем на одну из них, решив неравенство.

 

Решение примера с возможной типовой ошибкой

 

 

2.

 

Рассмотрим функцию

1. Область определения функции:

2. Корни функции:

3. Определим интервалы знакопостоянства.

4. Определим знак функции на каждом интервале (Рис. 3).

Проверим по методу пробной точки. На интервале  функция положительна.

На интервале  возьмем точку (0).  функция также положительна.

При переходе через точку (-4) функция меняет знак.

5. Выберем по рисунку множество решений.

Ответ:  

Ответ неверный!

Мы не учли изолированное решение. Знак нестрогий, поэтому нам подходят точки, в которых функция обращается в ноль. Таким образом,  

Ответ:

Это была типовая ошибка.

Чтобы избежать ее, можно отдельно рассматривать те значения, в которых функция равна нулю, а затем те, где функция меньше нуля.

Построим эскиз графика функции (Рис. 4).

В окрестности точки -4 функция меняет знак с минуса на плюс, значит, график идет вверх, функция возрастает. В окрестности точки 2 знак функции не меняется, значит, график только касается точки 2, не пересекая ось ox. Справа от точки 2 график резко уходит вверх, функция стремится к  Левее точки -4 функция стремится к

 

Заключение

 

 

Мы рассмотрели решение рациональных неравенств методом интервалов, который является мощным методом решения неравенств. Для его освоения предлагается перечень задач, а мы продолжим решение рациональных неравенств на следующем уроке.

 

 

Список рекомендованной литературы

1. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Учеб. Для общеобразоват. Учреждений.- 4-е изд. – М.: Мнемозина, 2002.-192 с.: ил.

2. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М.: Мнемозина, 2002.-143 с.: ил.

3. Макарычев Ю. Н. Алгебра. 9 класс : учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, И. Е. Феоктистов. — 7-е изд., испр. и доп. — М.: Мнемозина, 2008.

4. Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В. Алгебра. 9 класс. 16-е изд. - М., 2011. - 287 с.

5. Мордкович А. Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. — 12-е изд., стер. — М.: 2010. — 224 с.: ил.

6. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мишустина и др.; Под ред. А. Г. Мордковича. — 12-е изд., испр. — М.: 2010.-223 с.: ил.

 

Рекомендованное домашнее задание

1. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М. : Мнемозина, 2002.-143 с.: ил.№№ 25; 26; 27; 34.

 

Рекомендованные ссылки на интернет-ресурсы

1. Портал Естественных Наук (Источник).

2. Портал Естественных Наук (Источник).

3. Электронный учебно-методический комплекс для подготовки 10-11 классов к вступительным экзаменам по информатике, математике, русскому языку (Источник).

4. Виртуальный репетитор (Источник).

5. Центр образования «Технология обучения» (Источник).

6. Раздел College.ru по математике (Источник).