Математика

Тема урока. Введение

 

Напоминание: Мы решаем неравенство вида  На прошлом уроке мы рассмотрели функцию

 

На примере подобной функции мы рассмотрели метод интервалов для решения рациональных неравенств и схематического построения графика функции.

 

Решение дробно-квадратичного неравенства

 

 

Вместо  могут быть другие функции, например, дробно-линейные или дробно-квадратичные. Решение неравенств такого рода является нашей целью.

 

1. Решить неравенство

Это же неравенство может быть представлено в виде  тогда нужно вначале разложить на множители числитель и знаменатель дроби.

1. Рассмотрим функцию

2. Область определения:

3. Найдем нули функции

4. Выделим интервалы знакопостоянства.

5. Находим знак функции на каждом интервале.

Можно проверить знаки по методу пробной точки. Например, на промежутке   На остальных промежутках аналогично.(Рис.1)

Теперь возвращаемся к неравенству  

Ответ:

Рассмотрим некоторые сопутствующие задачи.

Найти наименьшее решение неравенства.

Ответ:

Найти число натуральных решений неравенства

Ответ: 2.

Найти длину интервалов, составляющих множество решений неравенства.

Ответ:2.

 

Решение дробно-линейных неравенств

 

 

Мы рассмотрели метод интервалов на примере дробно-квадратичного рационального неравенства. Рекомендуется самостоятельно построить эскиз графика функции для данного примера.

 

2. Решить неравенство:

Эквивалентными преобразованиями приведем неравенство к нужному виду.

Множество решений этого неравенства совпадает со множеством решений исходного неравенства

Неравенство такого вида мы уже умеем решать методом интервалов.

1.

2. Область допустимых значений 

3. Нули функции

4. Определяем интервалы знакопостоянства.

4 – выколотая точка, т.к. при  функция не существует, изобразим это на графике пунктирной линией.

5. Расставим знаки на промежутках. Самостоятельно можно проверить знаки методом пробной точки (Рис.2).

Теперь можно вернуться к неравенству и выбрать интервалы, удовлетворяющие заданным условиям.

Ответ:

Мы привели исходное неравенство к дробно-линейному виду. Самостоятельно можно построить эскиз графика функции.

3. Решить неравенство

При решении данного неравенства может быть допущена грубая ошибка. Решать его методом умножения обеих частей на  категорически нельзя, будет потеряно множество решений!

Можно умножить обе части неравенства на положительное число, тогда знак неравенства останется прежним. Можно умножить на отрицательное число, тогда знак неравенства поменяется. Но умножать на  мы не можем, т.к. не знаем его знака.

Поэтому решаем неравенство методом эквивалентных преобразований.

1. Рассмотрим функцию

2. Область определения

3. Нули функции

4. Определим интервалы знакопостоянства.

Точка 0 выколотая, в ней функция не существует, отметим это на графике пунктирной линией.

5. Расставим знаки на интервалах (Рис. 3).

Возвращаемся к неравенству.

Ответ:

 

Вывод

 

 

Мы рассмотрели решение неравенств методом интервалов. В качестве функции выступала дробь, в числителе и знаменателе либо линейная, либо квадратичная функция.

 

Мы и дальше будем использовать метод интервалов при решении сложных рациональных неравенств.

 

Список рекомендованной литературы

1. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Учеб. Для общеобразоват. Учреждений.- 4-е изд. – М.: Мнемозина, 2002.-192 с.: ил.

2. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М.: Мнемозина, 2002.-143 с.: ил.

3. Макарычев Ю. Н. Алгебра. 9 класс : учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, И. Е. Феоктистов. — 7-е изд., испр. и доп. — М.: Мнемозина, 2008.

4. Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В. Алгебра. 9 класс. 16-е изд. - М., 2011. - 287 с.

5. Мордкович А. Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. — 12-е изд., стер. — М.: 2010. — 224 с.: ил.

6. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мишустина и др.; Под ред. А. Г. Мордковича. — 12-е изд., испр. — М.: 2010.-223 с.: ил.

 

Рекомендованные ссылки на интернет-ресурсы

1. Портал Естественных Наук (Источник).

2. Портал Естественных Наук (Источник).

3. Электронный учебно-методический комплекс для подготовки 10-11 классов к вступительным экзаменам по информатике, математике, русскому языку (Источник).

4. Виртуальный репетитор (Источник).

5. Центр образования «Технология обучения» (Источник).

6. Раздел College.ru по математике (Источник).

 

Рекомендованное домашнее задание

1. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М. : Мнемозина, 2002.-143 с.: ил. №№ 28(б,в); 29(б,в); 35(а,б); 37(б,в); 38(а).