Математика

Введение

 

С понятием «множество» вы уже знакомы. Подмножество, как можно догадаться из названия, – это определенная часть множества. Например:

 

А – это множество всех учеников в классе.

В – это множество девочек указанного выше класса.

С – множество всех мальчиков класса.

D – множество всех отличников данного класса.

Е – множество всех мальчиков-отличников этого класса.

Таким образом, были перечислены множество (А) и его подмножества (В, С, D, Е). Теперь мы можем дать определение, что такое «подмножество».

 

Определение

 

 

Если каждый элемент множества В является элементом множества А, то множество В называют подмножеством множества А.

 

В ⊂ А

Как пример, девочки класса из примера выше (множество В) являются ученицами класса (множество А). Значит, В входит в А.

Мальчики тоже являются частью класса, значит, С ⊂ А.
Все отличники являются частью класса, D ⊂ A.

Как и мальчики, отличники – это ученики класса, то есть Е ⊂ А.

 

Разница между значками ∈ и ⊂

 

 

Если у нас а ∈ А, то это значит, что а принадлежит А.То есть, это один элемент a принадлежит множеству А.

 

Если же подмножество В входит в А, то мы пишем В ⊂ А.

То есть между значками есть разница.

 

Примеры важных числовых множеств и подмножеств

 

 

N – множество натуральных чисел (с их помощью мы считаем предметы, природу и так далее.)

 

N =

Z – множество целых чисел.

Z =

Ясно, что натуральные числа – это подмножество целых чисел, то есть N ⊂ Z.

Q – множество рациональных чисел.

Q =

Если к множеству рациональных чисел добавить множество иррациональных чисел, то мы получим множество всех действительных чисел.

R – множество действительных чисел.

R =

Запишем правильные включения:

N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R

 

Пример из геометрии

 

 

Пусть множество А – это множество всех четырехугольников: A, B, C, D (рис. 1).

 

Рис. 1. Множество А

Пусть множество В – это множество четырехугольников с парой равных параллельных сторон: A, B, C, D (рис. 2).

BC = AD       BC || AD

      

Рис. 2. Множество В

Множество С – это множество таких четырехугольников, у которых диагонали, пересекаясь, делятся пополам: AB, CD – диагонали, т. О – точка пересечения диагоналей, АО = ОС, BO = OD (рис. 3).

Рис. 3. Множество С

Итак, было рассмотрено 3 множества четырехугольников: множество произвольных четырехугольников; множество четырехугольников, у которых парные стороны равны и параллельны; множество четырехугольников, у которых диагонали, пересекаясь, точкой пересечения делятся пополам.

Рассмотрим еще 2 множества.

Множество D – это множество всех параллелограммов, и множество Е – множество параллелограммов с прямым углом (рис. 4).

Рис. 4. Множества D и Е

Таким образом, мы имеем 5 множеств четырехугольников.

 

Задача

 

 

Написать верное включение (то есть, какое множество является подмножеством другого множества) (рис. 5).

 

Рис. 5. Иллюстрация к задаче

Наиболее богатое – это множество всех четырехугольников. Значит:

B ⊂ A; C ⊂ A; D ⊂ A; E ⊂ A

Множества В, С, D и Е являются подмножествами множества А.

Далее вспомним определение параллелограмма:

Параллелограммом называется такой четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Для того чтобы убедиться, что фигура является параллелограммом, необходимо вспомнить его признаки:

1. Если 2 стороны параллельны и равны, то такой четырехугольник является параллелограммом.

Значит, В – это множество всех параллелограммов.

2. Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то эта фигура – параллелограмм.

Значит, С – это множество всех параллелограммов.

Про множество D напрямую было сказано, что это множество всех параллелограммов.

Если будет стоять вопрос, какие множества равны между собой, то можно ответить, что:

В = С = D – это множества всех параллелограммов.

3. Если в параллелограмме хотя бы один угол равен 90⁰, то такой параллелограмм является прямоугольником.

Значит, Е – это множество всех прямоугольников. Множество всех прямоугольников является подмножеством (частным случаем) произвольного четырехугольника и подмножеством параллелограмма. Отсюда имеем:

Е ⊂ А; E ⊂ B; E ⊂ C; E ⊂ D

Мы рассмотрели множества четырехугольников, из которых самое богатое множество – это множество всех четырехугольников, далее по-разному заданы множества параллелограммов и, наконец, Е – это множество всех прямоугольников. Были даны ответы на вопросы, где верные включения, какие множества равны между собой.

 

Вывод

 

 

Итак, мы узнали, что такое подмножество, и привели примеры.

 

 

Список литературы

1. Мордкович А.Г., Семенов П.В. Алгебра 9 класс. – 12-е изд., стер. – М.: 2010. – 224 с.
2. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Алгебра 9 класс. – 16-е изд., стер. – М.: 2009. – 271 с.

 

Домашнее задание

1. № 3.8, 3.9, 3.10, 3.11 стр. 22. Мордкович А.Г. Алгебра 9 класс. Задачник для учащихся общеобразовательных школ. – 12-е изд. – М.: Мнемозина, 2010. – 273 стр.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал Ru.wikipedia.org  (Источник).
2. Интернет-портал Stu.sernam.ru  (Источник).
3. Интернет-портал Scienceland.info  (Источник).