ОГЭ Математика

КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Квадратным уравнением называется уравнение, содержащее переменную во второй степени, т.е. в квадрате. Общий вид такого уравнения: $a{x}^2+bx+c=0$ , где $a\ne 0;b,c$ – некоторые числа. Стандартный метод решения: $D=b^2-4ac$ , корни - $x_{\mathrm{1,2}}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}$ .

Если $D=0$, корень получится один.

Если $D<0$, корней не будет.

Задача №1

Решить квадратное уравнение $-4x^2+28x=49$

Решение:

$-4x^2+28x-49=0$

$D={28}^2-4\bullet \left(-4\right)\bullet \left(-49\right)=784-784=0$

$x=\frac{-28}{2\bullet \left(-4\right)}=3,5$

Виды:

1. Приведенные

   Коэффициент $a=1$, т.е.  x²+bx+c=0. Для решения таких уравнений удобно использовать теорему Виета, согласно которой: $x_1\bullet x_2=c$, $x_1+x_2=-b$

   Задача №2

   Решим уравнение $x^2+2x-15=0$ с помощью теоремы Виета

   Решение:

   $\{ \begin{array}{c}{x}_1\cdot x_2=-15\\ x_1+x_2=2 \end{array} \Rightarrow \{ \begin{array}{c}{x}_1=-3\\ x_2=5 \end{array}$

2. Неприведенные

   Коэффициент $a\ne 1$. Теорему Виета можно применять и для неприведенных уравнений, но сумма и произведение корней будут равны $–\frac{b}{a}$ и $\frac{c}{a}$ соответственно. Для неприведенных уравнений быстрее и проще будет воспользоваться формулами с дискриминантом.

3. Неполные

   $b=0\mathrm{ \; или\; с}=0$

   Если $c=0$, то $ax2+bx=0$

   Решение: x(ax+b)=0.

   $x=0$ или ax+b=0

   $x=-\frac{b}{a}$

   Если $b=0$, то $a{x}^2+c=0$.

   $x=\sqrt{-\frac{c}{a}}$