ОГЭ Математика

МЕДИАНА

Медиана ― отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Всего в любом треугольнике можно провести 3 медианы.

Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке.

Свойства медианы:

1. Медианы точкой пересечения делятся в отношении 2 к 1, считая от вершины.

   

   Задача №1

   В треугольнике АВС ВК и АL – медианы, найдите длину ВК, если ОК = 3 см.

   Решение

   Медианы точкой пересечения делятся в отношении 2 к 1, считая от вершины: $ОВ=3\cdot 3=9$

2. Медиана разбивает треугольник на два равновеликих по площади треугольника.

   Любой треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников.

3. Если стороны треугольника a, b и с, m_c — медиана треугольника, проведённая к стороне c, то $m_c=\frac{1}{2}\sqrt{2a^2+2b^2-c^2}$ .

   Задача №2

   Найдите медиану, проведенную к стороне с, если а = 4, b=5, c=6.

   Решение

   $m_c=\frac{1}{2}\sqrt{2\cdot 4^2+2\cdot 5^2-6^2}=\frac{1}{2}\sqrt{32+50-36}=\frac{1}{2}\sqrt{46}$

4. У равностороннего треугольника все три медианы равны и совпадают с биссектрисой и высотой.

5. В равнобедренном треугольнике две медианы, проведенные к равным сторонам треугольника, равны, а третья медиана одновременно является биссектрисой и высотой

6. В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.