ОГЭ Математика

ВЫСОТА

Высота — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону.

В зависимости от типа треугольника она может:

• - содержаться внутри треугольника (для остроугольного треугольника),
• - совпадать с его стороной (являться катетом прямоугольного треугольника),
• - проходить вне треугольника (для тупоугольного треугольника).

 

Свойства:

1) В одном треугольнике можно провести максимально три высоты, и все они пересекаются в одной точке, которая называется ортоцентром.

2) В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника, подобных исходному.

3) В равностороннем треугольнике все три высоты равны между собой, а также совпадают с медианой и биссектрисой.

4) В равнобедренных треугольниках две высоты, проведенные к равным сторонам треугольника, равны, третья высота ВН одновременно является и биссектрисой. Обратное свойство: если в треугольнике две высоты равны, то треугольник — равнобедренный.

Теорема о высоте: если прямоугольном треугольнике высота проведена к гипотенузе, то такая высота в квадрате равна произведению отрезков гипотенузы.

Задача №1

Пусть условие задачи гласит, что в прямоугольном треугольнике ABC из прямого угла C опущена высота CH, которая делит гипотенузу AB в отношении 1:4. CH = 8. Найти гипотенузу.

Решение:

${\mathit{CH}}^2=\mathit{AH}\bullet \mathit{HB}$

$8^2=1\mathit{x }\bullet 4x$

$64=4x^2$

$16=x^2$

$x=4$

$AB=4\cdot 5=20$