Математика

 

 

Тема: Перпендикулярность прямых и плоскостей

 

Урок: Повторение теории и решение задач по теме «Перпендикуляр и наклонные. Угол между прямой и плоскостью»

 

Тема урока

 

 

В ходе урока вы сможете самостоятельно изучить тему «Повторение теории и решение задач по теме “Перпендикуляр и наклонные. Угол между прямой и плоскостью”».

 

 

Напоминание основных понятий

 

 

Рассмотрим плоскость α. Точка А лежит вне плоскости α. Отрезок АН перпендикулярен плоскости α.

 

Отрезок АН – перпендикуляр, проведенный из точки А к плоскости α. Точка Н – основание перпендикуляра.

Отрезок АМ – наклонная, М – основание наклонной.

Отрезок МН называется проекцией наклонной АМ на плоскость α. (Рис. 1)

Рис. 1

Свойство 1. Длина перпендикуляра меньше, чем длина наклонной. То есть, АН < AM.

Расстоянием от точки А до плоскости α называют длину перпендикуляра АН. Обозначение: ρ(А; α) = АН. Точка Н – проекция точки А на плоскость α.

Свойство 2.

То есть, если из точки А проведены равные наклонные, АМ = AN, то их проекции равны: MH = HN.  Если проекции равны MH = HN, то равны и наклонные: АМ = AN.

 

Теорема о трех перпендикулярах

 

 

Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ее проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной.

 

Обратная теорема

Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна и к ее проекции. 

Пусть прямая а лежит в плоскости α (рис. 2), а точка А лежит вне плоскости α Пусть прямая АН перпендикулярна плоскости α, АМ – наклонная к плоскости α, НМ – проекция наклонной АМ на плоскость α. Тогда:

Рис. 2

Заметим, что прямая а перпендикулярна плоскости АМН.

 

Угол между прямой и плоскостью

 

 

Определение. Углом между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не перпендикулярную к ней, называется угол между прямой и ее проекцией на плоскость.

 

Рассмотрим плоскость α и прямую a = АМ, АН – перпендикуляр, МН – проекция прямой АМ на плоскость α (рис. 3). Угол между прямой АМ и плоскостью α – это угол между прямой АМ и ее проекцией МН, т. е. угол НМА = φ₀. Обозначение:

Рис. 3

Свойство угла между прямой и плоскостью

Пусть прямая МА проходит через точку М на плоскости α и образует с этой плоскостью угол φ₀ ≠  90°. Угол φ₀ является наименьшим из всех углов, которые прямая МА образует с прямыми, проведенными в плоскости α через точку М.

Если прямая перпендикулярна плоскости, то угол между прямой и плоскостью считается равным 90°. Прямая а перпендикулярна плоскости α (рис. 4), тогда .

Рис. 4

 

Задача 1, пункт 1

 

 

Прямая ОМ перпендикулярна плоскости треугольника АВС и проходит через центр О вписанной в него окружности.

 

Докажите, что точка М равноудалена:

1.      от прямых АВ, ВС, СА.

2.      от всех точек вписанной окружности и от всех касательных к ней.

3.      Найдите это расстояние, если известны радиус r окружности и длина ОМ = h.

4.      Докажите равенство углов наклона прямых МТ (где Т – любая точка окружности) к плоскости АВС.

5.      Найдите тангенс этих углов.

Дано: ∆АВС, О – центр вписанной окружности, ОМ ⊥ АВС.

1.      Доказать: ρ (М, АВ) = ρ (М, ВС) = ρ (М, СА)

Доказательство: см. рис. 5

Рис. 5

Пусть А₁, В₁, С₁ – это точки касания окружности к сторонам треугольника. ОС₁, ОА₁, ОВ₁ – радиусы этой окружности. Тогда, по свойству, ОС₁ ⊥ АВ, ОА₁ ⊥ ВС, ОВ₁ ⊥ АС.

МО – перпендикуляр к плоскости АВС. ОС₁ – проекция наклонной МС₁ на плоскость АВС. Так как ОС₁ ⊥ АВ, то МС₁ ⊥ АВ (по теореме о трех перпендикулярах). Значит, МС₁ – это расстояние от точи М до прямой АВ, МС₁ = ρ (М, АВ). Аналогично получаем, что МА₁ = ρ (М, ВС), МВ₁ = ρ (М, СА).

Треугольники МОС₁, МОА₁, МОВ₁ равны по двум катетам (катеты ОС₁, ОА₁, ОВ₁ равны как радиусы вписанной окружности, катет ОМ – общий). Из равенства треугольников следует, что МС₁ = МА₁ = МВ₁. А значит, ρ (М, АВ) = ρ (М, ВС) = ρ (М, СА), что и требовалось доказать.

Рассмотрим вспомогательную иллюстрацию (рис. 6) и введем некоторые дополнительные  обозначения.

Имеем окружность с центром в точке О и радиусом r, ОМ ⊥ ОТ₁Т, ОМ = h, OT = r (рис. 6).

Пусть t₁, t – две произвольные касательные. Т₁, Т – точки касания касательных t₁, tк окружности. Тогда второй пункт задачи можно сформулировать так.

 

Задача 1, пункт 2

 

 

1.      Доказать:  ρ (М, Т) = ρ (М, Т₁)

 

                                   ρ (М, t) = ρ (М, t₁)

Рис. 6

 Касательные t₁, t касаются окружности в точках Т, Т₁ соответственно. Радиус, проведенный в точку касания касательной, перпендикулярен касательной. То есть ОТ ⊥ t.

ρ (М, Т) = МТ, ρ (М, Т₁) = МТ₁

ОТ – это проекция наклонной МТ на плоскость окружности. Прямая t лежит в этой плоскости. Так как ОТ ⊥ t, то МТ ⊥ tпо теореме о трех перпендикулярах. Значит, ρ (М, t) = МТ. Аналогично, ρ (М, t₁) = МТ₁.

Рассмотрим прямоугольные треугольники МОТ и МОТ₁. Катет ОМ – общий, ОТ = ОТ₁ как радиусы. Значит, треугольники МОТ и МОТ₁ равны по двум катетам. Следовательно, МТ = МТ₁, а значит, ρ (М, t) = ρ (М, t₁), ρ (М, Т) = ρ (М, Т₁), что и требовалось доказать.

 

Задача 1, пункт 3

 

 

1.      Найти: ρ (М, t)

 

Рассмотри прямоугольный треугольник МОТ (рис. 6). Из теоремы Пифагора:

Ответ: .

 

Задача 1, пункт 4

 

 

1.      Доказать: ∠(МТ, АВС) = ∠(МТ₁, АВС) = φ.

 

ОТ – проекция наклонной МТ на плоскость ABC. Значит, ∠(МТ, АВС) = ∠(МТ, ОТ) = ∠МТО. Аналогично, ∠(МТ₁, АВС) = ∠(МТ₁, ОТ₁) = ∠МТ₁О. Мы доказали, что треугольники МОТ и МОТ₁ равны, а значит, и углы МТО и МТ₁О равны. Обозначим, их величину за φ. Тогда, ∠(МТ, АВС) = ∠(МТ₁, АВС) = φ, что и требовалось доказать.

 

Задача 1, пункт 5

 

 

1.      Найти: tg φ.

 

Рассмотри прямоугольный треугольник МОТ.

Ответ: .

 

Задача 2, пункт а

 

 

Прямая ОК перпендикулярна к плоскости ромба ABCD, диагонали которого пересекаются в точке О.

 

а) Докажите, что расстояние от точки К до всех прямых, содержащих стороны ромба, равны.

б) Найдите это расстояние, если ОК = 4,5 дм, АС = 8 дм, BD = 6 дм.

Рис. 7

Дано: ABCD – ромб, ОК ⊥ АВС, ОК = 4.5 дм, АС = 8 дм, BD = 6 дм.

а) Доказать: ρ (К, АВ) = ρ (К, BC) = ρ (К, CD) = ρ (К, DA) .

Доказательство:

Рис. 8

Сделаем вспомогательный рисунок (рис. 8). Также вспомним, что в ромб можно вписать окружность, центр этой окружности – точка пересечения диагоналей ромба. Н₁, Н₂, Н₃, Н₄ – точки касания вписанной окружности и сторон ромба.

Н₁ – точка касания стороны АВ к окружности. Тогда ОН₁ ⊥ АВ. ОН₁ – это проекция наклонной КН₁. Значит, по теореме о трех перпендикулярах, КН₁ ⊥ АВ. А значит, КН₁ – это и есть расстояние от точки К до прямой АВ, : ρ (К, АВ) = КН₁. Аналогично,  ρ (К, BC) = КН₂, ρ (К, CD) = КН₃, ρ (К, DA) = КН₄.

Рассмотри прямоугольные треугольники КОН₁, КОН₂, КОН₃, КОН₄. Катет ОК – общий, ОН₁ = ОН₂ = ОН₃ = ОН_{4 ,} так как ОН₁, ОН₂, ОН₃, ОН₄  – радиусы одной окружности. Значит, треугольники КОН₁, КОН₂, КОН₃, КОН₄  равны по двум катетам. Значит, КН₁ = КН₂ = КН₃ = КН₄. Получаем, ρ (К, АВ) = ρ (К, BC) = ρ (К, CD) = ρ (К, DA), что и требовалось доказать.

 

Задача 2, пункт б

 

 

Найти: ρ (К, BC).

 

Радиус окружности ОН₂ является высотой в треугольнике СОВ. Выпишем, чему равна площадь треугольника СОВ.

 дм,  дм. Тогда:

 дм.

Рассмотрим прямоугольный треугольник КН₂О. По теореме Пифагора:

Мы показали, что ρ (К, BC) = КН₂. Значит, ρ (К, BC) = 5,1 дм.

Ответ: 5,1 дм.

 

Итоги урока

 

 

На этом уроке мы повторили теорию и решили задачи по теме «Перпендикуляр и наклонные. Угол между прямой и плоскостью». На следующем уроке мы повторим тему «Двугранный угол».

 

 

Список литературы

1. Геометрия. 10-11 класс : учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е изд., испр. и доп. – М.: Мнемозина, 2008. – 288 с.: ил.
2. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: ил.
3. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. – 6-е издание, стереотип. – М.: Дрофа, 008. – 233 с.: ил.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Школьные страницы (Источник)
2. Якласс (Источник)
3. ЕГЭ (Источник)
4. ЕГЭ (Источник)

 

Домашнее задание

1. Точка А равноудалена от вершим параллелограмма. Докажите, что этот параллелограмм является прямоугольником.
2. Основания трапеции равняются 14 см и 8 см соответственно. Через большее основание трапеции проведена плоскость, которая находится на расстоянии 8 см от меньшего основания трапеции. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до проведенной плоскости.
3. С точки А на плоскость α проведены две наклонные длиной 15 см и 20 см. Длина проекции одной из этих наклонных равна 16 см. Найдите синус угла, образованного другой наклонной и плоскостью α.
4. Точка К находится на одинаковых расстояниях КА и КВ от сторон прямого угла с вершиной С. О – проекция точки К на плоскость этого угла. Докажите, что ОАСВ – квадрат.