Математика

Центр симметрии кривой

 

Кривая  имеет центр симметрии – точку  с координатами .

 

Доказательство

Рассмотрим функцию . Эта функция нечетная, так как выполнены два условия:

1. Область определения симметрична относительно 0;

2. , для всех

График нечетной функции симметричен относительно точки с координатами . График функции  получается из графика функции  путем сдвига последнего на 2 единицы вверх по оси . Следовательно, график функции  будет симметричен относительно точки  (см. Рис. 1).

Рис. 1. Схематическое изображение графиков функции  и

Таким образом, мы можем исследовать функцию  при , а далее использовать симметрию относительно точки  с координатами .

 

Определение корня функции, преобразование функции

 

 

При  функция  имеет очевидный корень – это :

 

 

Следовательно, исследуемую функцию можно представить в следующем виде:

, где  – это многочлен четвертой степени.

 

Доказательство возрастания функции

 

 

Докажем, что исследуемая функция монотонно возрастает на множестве .

 

 при

Доказательство

 

Рассмотрим каждый сомножитель:

Функция  возрастает на промежутке  (см. Рис. 2). Функция  возрастает на промежутке  (см. Рис. 2). Функции  и  возрастающие, поэтому функция  также возрастающая. Функция  является возрастающей.

Все члены исследуемой функции на промежутке  являются положительными.

Рис. 2. Иллюстрация к доказательству

Мы выяснили, что все члены, сомножители возрастают, следовательно, исследуемая функция монотонно возрастает на множестве .

 

Доказательство убывания функции

 

 

Докажем, что функция  убывает на промежутке . Для этого сначала рассмотрим промежуток , потом промежуток .

 

Преобразуем выражение:

 

Первое слагаемое в правой части убывает при всех х, а второе есть произведение двух сомножителей:  и . Из этих сомножителей второй отрицателен и убывает при всех , а первый положителен и возрастает на промежутке , что легко следует из соответствующих свойств параболы . Отсюда вытекает, что второе слагаемое в правой части убывает на промежутке .

Значит, на этом промежутке убывает и сама функция  (сумма убывающих функций – убывающая).

При  перепишем функцию в виде:

,

где

Убывание функции ƒ на рассматриваемом промежутке будет доказано, если доказать, что на промежутке  убывает каждая из функций , .

Воспользуемся методом выделения полного квадрата и перепишем  в виде:

 

Первая часть – произведение двух сомножителей, из которых первый () возрастает и отрицателен при , а второй – при . Поскольку , отсюда получим:  монотонно убывает на требуемом промежутке.

Функцию  перепишем в виде:

 

Она рассматривается аналогично: справа стоит произведение двух сомножителей, из которых первый () возрастает и отрицателен при , а второй при . Поскольку , отсюда получим, что и  монотонно убывает на требуемом промежутке.

Таким образом, мы доказали, что исходная функция убывает на всем промежутке .

 

Построение графика функции

 

 

Точка  – центр симметрии, поэтому строим график данной функции сначала для . При , .

 

На промежутке  функция убывает. После , то есть на промежутке , функция возрастает (если x стремится к плюс бесконечности, то y тоже стремится к плюс бесконечности) (см. Рис. 3).

Рис. 3. График функции  при

Далее отобразим полученный график относительно центра симметрии, то есть точки  (см. Рис. 4).

Рис. 4. График функции

 

Результаты исследования функции

 

 

1. Функция возрастает при  а также на симметричном множестве .

 

2. Функция убывает при .

3.  – точка максимума.

 

4.  – точка минимума.

 

 

Список литературы

1. Мордкович А.Г., Семенов П.В. Алгебра и начала математического анализа, 10 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина, 2009.
2. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа, 10 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина, 2009.
3. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики). – М.: Просвещение, 1996.
4. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. Алгебра и начала математического анализа: Учебник для 10-11 кл. сред. шк. – М.: Просвещение, 1990.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы Интернет

1. Youtube.com (Источник).
2. Matematikalegko.ru (Источник).
3. Bitclass.ru (Источник).
4. Matematiku5.ru (Источник).

 

Домашнее задание

1. Задание 76, 79, 94 (г) (стр. 274–278) – Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. Алгебра и начала математического анализа (Источник). 
2. Найдите точку минимума функции .