Математика

 

 

Тема: Производная

 

Урок: Исследование функций; сопутствующие задачи

 

1. Повторение

 

 

На этом занятии будет продолжена тема исследование функции с помощью производной. На предыдущем уроке была подробно рассмотрена функция . Выяснили, что эта функция допускает подробное исследование с помощью производной. Была найдена производная, интервалы знакопостоянства, промежутки монотонности функции, точки экстремума.

 

 

2. Сопутствующие задачи

 

 

Найти множество значений функции.

 

.

В связи с этим – типовая задача.

1. Дано: .  При каких значениях параметра , данное уравнение имеет хотя бы одно решение?

Методика решения подобных задач.

Построить график функции из левой части ( построили на предыдущем уроке). Поскольку множество значений функции любое действительное число. Это означает, что при любом , хотя бы один корень есть.

Ответ: при  уравнение имеет хотя бы одно решение.

Найти , при которых нет решений у данного уравнения.

Ответ : нет таких .

2. Дано: . Найти число корней уравнения, в зависимости от параметра .

Решение.

Мы не можем точно найти корень, даже если . Методика решения состоит в следующем.

1) Построить график функции  (см. рис.1).

Рис. 1. График функции .

2) Рассечь график функции семейством прямых  (см. рис.2).

3) Найти точки пересечения (их число) и выписать ответ.

Рис. 2. График функции  и прямые .

Ответ:

1) при любом , уравнение  имеет одно решение. Можем охарактеризовать, где лежит это решение: .

2) При  - уравнение имеет два решения.

3) При  - уравнение имеет три различных корня.

4) Если , то уравнение имеет два решения.

5) При любом  - уравнение имеет единственное решение. 

 

3. Частные случаи задачи с параметром

 

 

1. Найти наибольшее значение параметра , при которых уравнение  имеет два различных решения.

 

Два различных решения имеем при  и при .

Ответ: таким образом, наибольшее значение параметра  при котором уравнение имеет два различных решения .

2. Найти число значений параметра , при каждом из которых уравнение  имеет ровно два различных решения.

Решение.

Таких параметров – два. При  и при  уравнение имеет два решения .

Ответ: 2.

3. Найти все значения параметра , при которых уравнение  имеет ровно три различных решения.

Решение.

В общей задаче, где мы перебрали все  и для каждого дали ответ, есть ответ на поставленную задачу. Три решения есть, когда  меняется от нуля до четырех.

Ответ: .

4. Найти натуральные значения параметра , при которых уравнение имеет три различных решения.

Эта задача отличается от предыдущей тем, что среди промежутка  выбрать натуральные значения . Итак, при ,  при  и при  - натуральных числах, уравнение имеет три различных корня.

Ответ: , , .

 

4. Итог урока

 

 

Итак, на уроке была рассмотрена методика построения графика функции пятой степени с помощью производной. Были найдены промежутки монотонности функции, точки максимума и точки минимума функции. Также были рассмотрены сопутствующие задачи. Наиболее сложная из них такова: дано уравнение , найти число решений уравнения с параметром . На уроке сформулирована методика решения такой задачи. Главным в такой задаче – построение графика функции  с помощью производной. Потом этот график нужно рассекать семейством прямых , при разных , и считывать ответ.

 

 

Список рекомендованной литературы

1. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2009.

2. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник  для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.

3. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики).-М.: Просвещение, 1996.

4. Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа.-М.: Просвещение, 1997.

5. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М.И.Сканави).-М.:Высшая школа, 1992.

6. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебраический тренажер.-К.: А.С.К., 1997.

7. ЗвавичЛ.И., Шляпочник Л.Я., Чинкина Алгебра и начала анализа. 8-11 кл.: Пособие для школ и классов с углубленным изучением математики (дидактические материалы).-М.: Дрофа, 2002.

8. Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10-11 классов общеобразов. учреждений).-М.: Просвещение, 2003.

9. Карп А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа : учеб. пособие для 10-11 кл. с углубл. изуч. математики.-М.: Просвещение, 2006.

10. Глейзер Г.И. История математики в школе. 9-10 классы (пособие для учителей).-М.: Просвещение, 1983

 

Дополнительные веб-ресурсы

1. Интернет-портал Mathematics.ru (Источник). 

2. Портал Естественных Наук (Источник). 

3. Интернет-портал Exponenta.ru (Источник).

 

Сделай дома

№45.11 (б), 45.12 (б) ( Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник  для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.)